3.1. Электростатика

Электростатика – раздел электродинамики, в котором рас-

сматриваются свойства и взаимодействия неподвижных в инерци-

альной системе отсчета электрически заряженных тел или частиц,

обладающих электрическим зарядом.

 

3.1.1. Электрический заряд и его свойства

Электрический заряд

Электрические заряды бывают двух видов. Их условно назвали по-

ложительными и отрицательными. Заряды взаимодействуют между

собой: одноименные – отталкиваются, разноименные – притягиваются.

Носителями зарядов являются элементарные частицы (мель-

чайшие частицы материи).

Наименьший встречающийся в природе электрический заряд

называется элементарным зарядом e = 1,6021892*10^–19 Кл. Элемен-

тарные частицы: электрон, протон и нейтрон – несут заряды –e,

+e, 0 соответственно. Из этих частиц построены атомы любого ве-

щества, поэтому электрические заряды входят в состав всех тел.

Обычно электроны и протоны имеются в равных количествах

и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае ал-

гебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме тела

равна нулю, вследствие чего каждый такой объем (и тело в целом)

оказываются нейтральными.

Всякий заряд образуется совокупностью элементарных заря-

дов, поэтому он является целым кратным e:

q = ± N e. (3.1)

Если физическая величина может иметь только дискретные

(т.е. разделенные конечными промежутками) значения, говорят, что

эта величина квантуется; электрический заряд квантуется.

Электрические заряды могут возникать и исчезать. Однако все-

гда возникают или исчезают одновременно два одинаковых заряда

разных знаков.

Примеры:

1. Электрон и позитрон (антиэлектрон) при встрече аннигили-

руют, т.е. превращаются в нейтральные частицы, называемые гам-

ма-фотонами. При этом исчезают заряды +e и –e.

2. В ходе процесса, называемого рождением пары, гамма-

фотон при определенных условиях превращается в пару частиц –

электрон и позитрон.

Таким образом, существует закон сохранения электриче-

ского заряда: суммарный заряд электрически изолированной сис-

темы не может изменяться.

Закон Кулона

Точечный заряд – заряженное тело, размерами которого можно

пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел.

Закон взаимодействия точечных зарядов установил экс-

периментально Шарль Огюстен Кулон в 1785 г. с помощью изобре-

тенных им крутильных весов: сила F взаимодействия двух неподвиж-

ных точечных зарядов, находящихся в вакууме, направлена вдоль пря-

мой, соединяющей заряды, пропорциональна величинам зарядов q₁ и q₂

и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

F=k(|q₁||q₂|)/r² (3.2)

где коэффициент пропорциональности k=9*10⁹ (Нм²/Кл²)

Для вектора силы, действующей со стороны первого заряда на

второй (рис. 3.1), получается соотношение:

F₁₂=k*((q₁q₂)/r²)e^r

где e^r - единичный направляющий вектор

3.1.2. Напряженность электростатического поля

Исследуем поле неподвижного точечного

заряда q с помощью точечного пробного заряда

q' (рис. 3.3). В соответствии с законом Кулона

на пробный заряд будет действовать сила

2

0

1 . 4 r

q Fq e

r

    

  

 

Отношение /'



F q не зависит от величины заряда q', следова-

тельно, является характеристикой поля. Напряженность 

E элек-

r

er q1

q2

F12

Рис. 3.1

q1

q2

F1

F2

q

F

Рис. 3.2

r

er

q

q’

F

Рис. 3.3

126

трического поля численно равна силе, действующей на единичный

точечный заряд:

.

'

F E

q



  (3.6)

Направление вектора E

 совпадает с направлением силы, дей-

ствующей на положительный заряд.

Единица измерения напряженности в СИ – вольт на метр,

E  В/м.

Из соотношений (3.4) и (3.6) следует, что поля складываются,

не возмущая друг друга:

1

.

N

i

i

E E 

    (3.7)

Это следствие называется принципом суперпозиции напряжен-

ностей.

Из закона Кулона (3.5) и определения напряженности (3.6)

можно найти напряженность поля точечного заряда:

точ 2

0

1

4 .r

q E e

r  

  (3.8)

Поле называется однородным, если вектор 

E одинаков в каж-

дой точке.

3.1.3. Энергия взаимодействия зарядов

Работа поля по перемещению заряда

Пусть точечный заряд q', нахо-

дящийся в поле неподвижного то-

чечного заряда q, переместился

вдоль некоторой траектории из по-

ложения 1 в положение 2 (рис. 3.4).

Найдем работу A12, совершаемую

при этом над зарядом q' силами поля,

в котором он находится. На заряд q'

действует сила 2

0

. 1

4 r

q q F e

r

  

 

Элементарная работа этой силы

2

0

1 dd d , 4 r

q q AF e

r

    

     

r1 q er

q’

F

1

2

dr

r2

d

Рис. 3.4

127

где d



 – элементарное перемещение заряда q'. Из рис. 3.4 видно,

что d d r e r  

   – приращение расстояния между зарядами. Для ра-

боты на участке 1–2 получается выражение

12 2

0 01 02

'd 1 ' 1 '

44 4 , qq r qq qq A

rrr      

2

1

(3.9)

откуда следует, что работа силы не зависит от пути, по которому пе-

ремещался заряд q', а зависит лишь от начального и конечного поло-

жений заряда. Работа по произвольной замкнутой траектории равна

нулю (т.е. сила Кулона потенциальна): , F qE d 'd 0    

 

    

   

E d 0.  



 

  (3.10)

Выражение d E  



 

  называется циркуляцией вектора E

 по

контуру .

Соотношение (3.10) выражает теорему о циркуляции век-

тора E :

 циркуляция вектора напряженности электростатиче-

ского поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Если цир-

куляция векторной характеристики некоторого поля равна нулю, то

говорят, что поле потенциально (условие потенциальности).

Работа потенциальных сил может быть представлена как убыль

потенциальной энергии (см. (1.90)):

A12 = Wп1 – Wп2. (3.11)

Сопоставив (3.9) и (3.11), получим для потенциальной энергии,

которой обладает заряд q' в поле заряда q, выражение

п

0

1 '

const.

4

 



q q W

r

На бесконечно большом расстоянии заряды не взаимодейству-

ют, следовательно потенциальная энергия при r =  должна обра-

щаться в нуль:

п

0

1 '

4  

q q W

r

. (3.12)

128

Выражение (3.12) можно трактовать как взаимную потенци-

альную энергию зарядов q и q', находящихся на расстоянии r.

Потенциал

Скалярная величина

п

'

W

q

  (3.13)

не зависит от величины заряда q' и может быть использована для

характеристики поля заряда q. Эта величина называется потенциа-

лом поля в данной точке.

Из сказанного выше следует, что потенциал поля точечного за-

ряда q определяется выражением

точ

0

1

4

q

r

 



, (3.14)

где r – расстояние от заряда до данной точки поля.

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгеб-

раической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов

в отдельности:

1

N

i

i

   . (3.15)

Из определения потенциала (3.13) следует, что заряд q, нахо-

дящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной

энергией

Wп = q . (3.16)

Таким образом, работу сил поля над зарядом q можно выразить

через разность потенциалов:

A12 = Wп1 – Wп2 = q (1 – 2) = q U, (3.17)

где U – напряжение; U = 1 – 2 = –. Таким образом, работа, со-

вершаемая над зарядом силами поля, равна произведению заряда на

убыль потенциала.

Единица измерения потенциала (и напряжения) – вольт,

[] = [U] = В. Один вольт соответствует потенциалу в такой точке,

для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного од-

129

ному кулону, нужно совершить работу в один джоуль:

1 В = 1 Дж / 1 Кл.

В физике часто пользуются единицей работы и энергии, назы-

ваемой электронвольтом (эВ) и равной работе, совершаемой сила-

ми поля над элементарным зарядом e при прохождении им разно-

сти потенциалов в один вольт:

1 эВ = 1,610–19 Кл  1 В = 1,610–19 Дж.

В быту же используется единица работы киловатт-час (кВт·ч):

1 кВтч = 3,6106 Дж.

Связь напряженности и потенциала

Электростатическое поле можно описать либо с помощью век-

торной величины 

E (силовой характеристики поля), либо с помо-

щью скалярной величины  (энергетической характеристики поля).

Очевидно, что эти величины должны быть как-то связаны друг

с другом.

При перемещении точечного заряда q вдоль некоторого на-

правления на отрезок d



 силы поля совершат над ним работу

d d A qE qE   d , 

 

 

где E – проекция вектора E



на направление перемещения.

Иначе эту работу можно выразить через убыль потенциала:

d d ( ). Aq q       / d  

Приравняв оба выражения для работы, получим соотношение

qE q d ( / )d ,        откуда следует, что

φ E .       (3.18)

Таким образом, проекция вектора 

E на произвольное направ-

ление равна изменению потенциала на единицу длины вдоль этого

направления.

Взяв в качестве направления координатные оси x, y, z, получим

выражения для компонент вектора 

E :

φ , Ex x

   

φ , Ey y

   

φ . Ez z

    (3.19)

130

Для однородного поля или для оценочных расчетов можно записать:

1 2 , φ φ U E      (3.20)

откуда становится понятной единица измерения напряженности

вольт на метр.

Графическое изображение полей

Электростатическое поле можно изобразить с помощью сило-

вых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовые линии – воображае-

мые линии, касательные к кото-

рым в каждой точке совпадают с

направлением вектора напряжен-

ности в этой точке поля. Они на-

чинаются на положительных и

заканчиваются на отрицательных

зарядах, не пересекаются.

Эквипотенциальная поверх-

ность (линия) – поверхность

(линия) равного потенциала.

На рис. 3.5 изображены си-

ловые (сплошные) и эквипотен-

циальные (пунктирные) линии

для положительного точечного

заряда (а), отрицательного точечного заряда (б) и диполя (в).

Диполь – система двух равных по модулю, но противоположных

по знаку зарядов, находящихся на малом расстоянии друг от друга.

3.1.4. Поток напряженности электрического поля.

Теорема Гаусса

Элементарный поток dФE

 вектора 

E

через поверхность площадью dS с нормалью 

n (рис. 3.6) определяется по формуле

dФ d cos d d , E      En S E S E S n 

  (3.21)

где 

n – нормаль к поверхности (внешняя для замкнутых поверхно-

стей).

E E

>0

E

2<0 1 1

0 <0

а) б)

в)

2>0

Рис. 3.5

n E

dS



Рис. 3.6

а б

в

131

Для произвольной поверхности S поток вектора E



Ф d . E n

S

 E S   (3.22)

Напряженность поля точечного заряда определяется выраже-

нием (3.8). Линии поля в этом случае представляют собой цен-

трально-симметричную систему радиальных прямых, направлен-

ных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицате-

лен (см. рис. 3.5, а и б).

Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность радиу-

сом r, в центре которой помещается положительный точечный за-

ряд q. В каждой точке этой поверхности 2

0 (1/ 4 ) / . En   q r Следо-

вательно, поток вектора E

 через поверхность

2

2

0 0

1 Ф d 4

4 . E n n

S

q q E S ES r

r

   

    

Это выражение не зависит от радиуса поверхности r. Это оз-

начает, что число линий поля на любом расстоянии от заряда од-

но и то же. Отсюда вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не

начинаются и не заканчиваются; начавшись на положительном

заряде, они заканчиваются на отрицательном заряде (в нашем

случае на бесконечности). Источниками электростатического по-

ля могут служить только заряды, причем мощность этих источ-

ников равна q/0.

Обобщив полученный результат на случай произвольного чис-

ла зарядов любого знака, приходим к теореме Гаусса: поток

вектора напряженности электростатического поля через замкну-

тую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри

этой поверхности зарядов, деленной на 0:

0

1 Ф d . E n

S

  ES q

    (3.23)

Для заряда, распределенного по телу некоторым образом, ис-

пользуется понятие плотности электрического заряда.

Объемная плотность заряда  (Кл/м3

) – заряд в единице объема;

поверхностная плотность заряда  (Кл/м

2

) – заряд на единице пло-

щади; линейная плотность заряда  (Кл/м) – заряд на единице длины:

132

d ;

dq

V  

d

; d

q

S

 

d . d

q  

 (3.24)

С помощью теоремы Гаусса можно рассчитать поля заряжен-

ных тел, обладающих элементами симметрии: поле бесконечной

однородно заряженной плоскости; поле однородно заряженного

бесконечного цилиндра; поле однородно заряженной сферы или

шара.

Пример 1. Поле бесконеч-

ной равномерно заряженной

плоскости с поверхностной

плотностью заряда  оказыва-

ется однородным (рис. 3.7, а):

0 2

  

E . (3.25)

Пример 2. Поле двух па-

раллельных бесконечных рав-

номерно заряженных плоско-

стей с поверхностными плот-

ностями заряда  и – (рис. 3.7, б) можно найти, используя принцип

суперпозиции (3.7). Между плоскостями поля имеют одинаковое на-

правление, слева и справа от плоскостей – противоположные, поэто-

му, напряженность оказывается отличной от нуля только между

плоскостями:

0

  

E . (3.26)

Пример 3. Поле равномерно заряженной сферы радиусом R

оказывается таким же, как и у точечного заряда вне сферы

(рис. 3.7, в). Внутри поле отсутствует, так как там нет зарядов и си-

ловым линиям негде было бы оканчиваться. Пусть q – заряд сферы,

тогда:

2

0

0, если ;

1 , если . 4

 

      

r

r R

E q r R

r

(3.27)

  E

E

-

-

-

-

-

-

-

- + - +

+

+

+

+

+

+

E

0 R r

а) б)

в)

Рис. 3.7

а б

в

r

133

С использованием (3.18) можно показать, что зависимость по-

тенциала от расстояния вне сферы будет такая же, как у точечного

заряда. Внутри потенциал такой же, как на поверхности, так как

внутри поля нет:

0

0

1 , если ; 4

1 , если . 4

q r R

R

q r R

r

   

  



   

(3.28)

3.1.5. Электростатическое поле в диэлектриках

Диэлектрики (изоляторы) – вещества, в которых заряды не мо-

гут перемещаться упорядоченно.

Атомы и молекулы состоят из положительно заряженных ядер

и движущихся вокруг них отрицательно заряженных электронов.

У диэлектриков заряды, входящие в состав молекулы, прочно свя-

заны друг с другом и могут быть разъединены только при воздейст-

вии на них очень сильного поля. Поэтому заряды, входящие в со-

став молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием

внешнего поля связанные заряды разных знаков лишь немного

смещаются в противоположные стороны; покинуть пределы моле-

кулы, в состав которой они входят, связанные заряды не могут.

Связанные заряды – это заряды, входящие в состав молекулы

и прочно соединенные друг с другом.

Внутри или на поверхности диэлектрика могут находиться за-

ряды, которые не входят в состав его молекул. Такие заряды, а так-

же заряды, расположенные за пределами диэлектрика, мы будем

называть сторонними.

Сторонние (свободные) заряды – это заряды, не входящие

в состав молекул диэлектрика.

В зависимости от взаимного расположения зарядов разных

знаков наблюдаются два типа молекул. У молекул одного типа цен-

тры положительных и отрицательных зарядов смещены друг отно-

сительно друга. Такие молекулы называются полярными (HCl,

H2O). У молекул другого типа, называемых неполярными, вследст-

вие их симметрии центры положительных и отрицательных зарядов

совпадают (H2, N2, O2).

Полярные молекулы подобны электрическому диполю.

134

Электрический диполь – система двух отличающихся только

знаком точечных зарядов +q и –q, расстояние  между которыми

мало по сравнению с расстояниями до тех точек, в которых рас-

сматривается поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда,

называется осью диполя. Ориентацию оси диполя в пространстве

можно задать с помощью вектора 

 , проведенного от заряда –q

к заряду +q.

Электрический момент диполя (дипольный момент)

  

p q  . (3.29)

Если диполь находится

в однородном электрическом

поле (рис. 3.8), на его заряды

действуют равные по модулю,

противоположно направлен-

ные силы  

qE и  

qE . Эти

силы образуют пару, плечо ко-

торой равно  sin  . Модуль

момента пары сил равен про-

изведению силы на плечо:

M qE pE  sin sin  . (3.30)

Вращающий момент 

M перпендикулярен к векторам 

p и 

E ;

 есть угол между векторами 

p и 

E . Поэтому можно написать:

     M p E . (3.31)

Таким образом, однородное электрическое поле оказывает на

диполь ориентирующее действие, стремясь установить его по полю.

Под действием внешнего электрического поля полярные и непо-

лярные молекулы ведут себя по-разному. На полярные молекулы по-

ле в основном оказывает ориентирующее действие, стремясь устано-

вить их дипольными моментами по полю. Величину дипольного мо-

мента полярной молекулы поле существенно не изменяет.

Ориентирующему действию поля на полярные молекулы противится

тепловое движение, которое стремится разбросать моменты молекул

равномерно по всем направлениям. В результате противоборства

этих двух тенденций устанавливается преимущественная ориентация

дипольных моментов по полю, тем большая, чем сильнее поле и чем

Рис. 3.8

135

ниже температура. Это приводит к тому, что вещество в целом при-

обретает электрический дипольный момент или, как говорят, поляри-

зуется. Такой вид поляризации называется ориентационной поляри-

зацией.

Действие поля на неполярную молекулу приводит к тому, что

центр положительных зарядов смещается в направлении поля,

а центр отрицательных зарядов – в противоположную сторону.

В результате неполярная молекула приобретает индуцированный

(наведенный) дипольный момент, точно ориентированный по полю.

Такая поляризация называется электронной. Экспериментально ус-

тановлено, что взаимное смещение центров зарядов, а следователь-

но, и дипольный момент пропорциональны напряженности поля,

т.е. силе, действующей на заряды. В этом отношении неполярная

молекула сходна с пружиной, удлинение которой пропорционально

приложенной к ней силе. По этой причине неполярные молекулы

называются упругими диполями. Соответственно полярные молеку-

лы называют жесткими диполями.

Независимо от типа молекул диэлектрики под действием

внешнего поля приобретают дипольный момент. Это явление назы-

вается поляризацией диэлектрика.

В качестве количественной характеристики поляризации есте-

ственно взять дипольный момент единицы объема диэлектрика, ко-

торый называется поляризованностью диэлектрика и обозначается

буквой 

P 2 (Кл м ):

1 . V

P p V 

     (3.32)

Поляризованный диэлектрик становится источником электри-

ческого поля 



E , которое накладывается на поле сторонних зарядов

0



E . В итоге возникает поле

0 EE E   .   (3.33)

Молекулы испытывают действие суммарного поля 

E . Поэтому

и поляризованность диэлектрика определяется этим полем. Опыт

показывает, что независимо от типа молекул в не слишком сильных

полях поляризованность большинства изотропных диэлектриков

(кроме сегнетоэлектриков) пропорциональна напряженности поля

в этой точке:

136

0 P E  ε ,   (3.34)

где  – не зависящая от 

E характеристика диэлектрика, называе-

мая диэлектрической восприимчивостью.

Электрическая постоянная 0  введена в формулу (3.34) для то-

го, чтобы сделать диэлектрическую восприимчивость безразмерной

величиной.

Если нормальная составляющая напряженности поля 

E для

данной поверхности отлична от нуля, то под действием поля заряды

одного знака уходят внутрь, а заряды другого знака выходят нару-

жу. В результате в тонком поверхностном слое диэлектрика возни-

кает избыток связанных зарядов одного знака.

На поверхности тела могут располагаться не только связанные,

но и сторонние заряды. Чтобы различить эти два случая, будем по-

верхностную плотность сторонних зарядов обозначать , а поверх-

ностную плотность связанных зарядов – символом ', аналогично

объемную плотность сторонних зарядов – символом , а объемную

плотность связанных зарядов – символом '.

Связь поверхностной плотности связанных зарядов с поляризо-

ванностью и напряженностью такова:

σ ε0 , P E n n    (3.35)

где Pn – проекция поляризованности на внешнюю нормаль к по-

верхности; En – проекция напряженности поля внутри диэлектрика

на внешнюю нормаль.

Связанные заряды, как и любые другие электрические заряды,

являются источниками электрического поля, на них начинаются

или оканчиваются линии напряженности E.



Для расчета полей в диэлектриках вместо напряженности 

E

более удобной оказывается величина 

D , силовые линии которой

начинаются или оканчиваются только на сторонних зарядах:

0 D EP    .    (3.36)

Эта величина называется электрическим смещением поля (дру-

гое название: электрическая индукция). Связанные заряды не явля-

ются источниками поля вектора D.



Из (3.34) и (3.36) получаем:

D EE    ε0 0 1  ε ε ,    (3.37)

137

где безразмерная величина

ε 1  (3.38)

называется диэлектрической проницаемостью вещества. Ее опре-

деляют экспериментально. В вакууме  = 1, в воздухе   1, в воде

 = 81. Диэлектрическая проницаемость  показывает, во сколько

раз ослабляется поле за счет диэлектрика.

Для электрического смещения D

 также можно сформулиро-

вать теорему Гаусса: поток электрического смещения через замк-

нутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних заря-

дов, заключенных внутри этой поверхности:

Ф d . D n

S

    DS q  (3.39)

Векторы E

 и D

 на границе раздела двух однородных и изо-

тропных диэлектрических сред 1 и 2 с диэлектрическими прони-

цаемостями соответственно 1 и 2 должны удовлетворять опреде-

ленным условиям, которые могут быть получены из теоремы Гаус-

са для D

 и теоремы о циркуляции E.

 Поскольку среды изотропны,

из соображений симметрии следует, что векторы E1

 и E2

 лежат

в одной плоскости (аналогично для D1

 и 2 D ). 

Линии вектора D

 могут начинаться или оканчиваться только на

сторонних зарядах. Поэтому, если на границе раздела таких зарядов

нет, линии D

 проходят через границу, не прерываясь (рис. 3.9), при-

чем их нормальные составляющие одинаковы в обоих диэлектриках

(в непосредственной близости к границе раздела сред):

D1n = D2n. (3.40)

Из (3.37) следует, что нормальные

составляющие напряженности связа-

ны соотношением

E1n/E2n = 2/1. (3.41)

Для касательных составляющих

получаются соотношения:

E1 = E2, (3.42)

D1/D2 = 1/2. (3.43)

Соотношения (3.40)–(3.43) определяют условия, которым

удовлетворяют векторы E

 и D

 на границе раздела двух диэлек-

1



D1

D2



1

2

D

D Dn

Рис. 3.9



n

138

триков. Из них вытекает, что тангенциальная составляющая вектора

E

 и нормальная составляющая вектора D

 при переходе через гра-

ницу раздела изменяются непрерывно. Нормальная же составляю-

щая вектора E

 и тангенциальная составляющая вектора D

 при пе-

реходе через границу раздела изменяются скачком, т.е. претерпе-

вают разрыв.

По рис. 3.9 видно, что tg = D/Dn. Поэтому

1 1 11 1

2 22 2 2

tg / . tg /

n

n

DD D

DD D

 

 

     

(3.44)

Это отношение выражает закон преломления линий электриче-

ского смещения (и линий напряженности поля).

3.1.6. Проводники в электростатическом поле

Условия равновесия зарядов на проводнике

Носители заряда в проводниках приходят в движение под дей-

ствием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов

на проводнике необходимо выполнение двух условий (рис. 3.10):

1) напряженность поля внутри проводника

должна быть равна нулю:

внутр E  0; (3.45)

2) напряженность поля на поверхности про-

водника должна в каждой точке быть направлена

по нормали к поверхности:

пов . E E  n (3.46)

Первое условие означает, что потенциал внутри проводника дол-

жен быть постоянным. Из второго условия следует, что в случае равно-

весия зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной.

Распределение зарядов на проводнике

Сообщенный проводнику заряд распределяется по поверхности

проводника (иначе внутри поле было бы отлично от нуля).

В случае полого проводника избыточный заряд также распре-

деляется по внешней поверхности. Линиям поля, начавшимся

(окончившимся) на заряде, находящемся на поверхности полости,

не на чем было бы окончиться (начаться) – в теле проводника ли-

ний поля нет, а внутри полости заряды отсутствуют.

Рис. 3.10

139

С помощью теоремы Гаусса для вектора 

D можно найти поле

у поверхности заряженного проводника:

пов D  , (3.47)

пов

0

E ,    

(3.48)

где  – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей про-

водник.

На больших расстояниях от заря-

женного проводника любой формы экви-

потенциальные поверхности имеют ха-

рактерную для поля точечного заряда

форму сферы (рис. 3.11). По мере при-

ближения к проводнику эквипотенциаль-

ные поверхности становятся все более

сходными с поверхностью проводника,

которая является эквипотенциальной.

Вблизи выступов эквипотенциальные по-

верхности располагаются гуще, а значит, и напряженность поля

здесь больше. Отсюда следует, что плотность заряда на выступах

особенно велика. К такому же выводу можно прийти, учтя, что

вследствие взаимного отталкивания заряды стремятся располо-

житься как можно дальше друг от друга.

Плотность заряда растет с увеличением положительной кри-

визны (выпуклости) поверхности и убывает с увеличением отрица-

тельной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плотность

заряда на остриях.

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле

носители заряда приходят в движение: положительные в направ-

лении вектора , E

 отрицательные – в противоположную сторону.

В результате на концах проводника

возникают заряды противоположных

знаков, называемые индуцированны-

ми зарядами (рис. 3.12). Поле этих

зарядов направлено противоположно

внешнему полю. Перераспределение

носителей заряда происходит до тех

пор, пока не окажутся выполненны-

ми условия (3.45) и (3.46), т.е. пока

Рис. 3.11

Рис. 3.12

140

напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а

линии напряженности вне проводника – нормальными к его по-

верхности.

Таким образом, незаряженный проводник, внесенный в элек-

трическое поле, разрывает часть линий напряженности – они окан-

чиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь на-

чинаются на положительных.

Индуцированные заряды располагаются на внешней поверхно-

сти проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при

равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри

нее равно нулю. На этом основывается электростатическая защита.

Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних по-

лей, его окружают проводящим экраном. Внешнее поле компенси-

руется внутри экрана возникающими на его поверхности индуци-

рованными зарядами.

Электроемкость

Сообщим некоторому уединенному проводнику заряд q. Этот

заряд распределится по поверхности проводника так, чтобы выпол-

нялись условия (3.45) и (3.46). Если сообщить проводнику еще та-

кую порцию заряда q, она распределится по поверхности точно так

же, как первая.

Это означает, что различные по величине заряды распределя-

ются по поверхности уединенного проводника подобным образом:

отношение плотностей заряда в двух произвольно взятых точках

поверхности при любой величине заряда будет одним и тем же. От-

сюда следует, что потенциал уединенного проводника пропорцио-

нален находящемуся на нем заряду: q = C .

Коэффициент пропорциональности C называется электроемко-

стью уединенного проводника,

С = q / . (3.49)

Пример. С учетом (3.28) можно найти емкость шара радиусом

R, погруженного в безграничный однородный и изотропный ди-

электрик с проницаемостью :

шара 0 C R.    4 (3.50)

141

За единицу электроемкости принимается емкость такого про-

водника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему

заряда в 1 Кл. Эта единица называется фарадом, [C] = Ф. Емкостью

в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9109 м, т.е. радиусом,

в 1500 раз большим радиуса Земли.

Емкость уединенных проводников невелика. Например, шар таких

размеров, как Земля, обладает емкостью всего лишь 700 мкФ. Вместе

с тем бывают нужны устройства, которые при небольшом потенциале

накапливали бы на себе большие заряды. Такие устройства называются

конденсаторами. Это два проводника (обкладки), помещенные близко

друг к другу. Для того, чтобы внешние тела не влияли на емкость кон-

денсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их отно-

сительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них

зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию

удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два

коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно

бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии элек-

трического смещения начинаются на одной обкладке и заканчива-

ются на другой. Следовательно, сторонние заряды, сообщаемые об-

кладкам, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Емкость конденсатора

C q qU     / /  1 2  , (3.51)

где U – напряжение между обкладками.

Пример. Пусть площадь обкладки плоского конденсатора равна S,

а расстояние между обкладками d << S. Зазор между обкладками

предполагается заполненным диэлектриком с проницаемостью .

В этом случае напряженность поля в диэлектрике (по формуле (3.26))

E q S Ud        / / /.  0 0   

Отсюда емкость плоского конденсатора

плоск.конд 0 . S C

d    (3.52)

Располагая некоторым набором конденсаторов, можно полу-

чить много различных значений емкости, если применить соедине-

ние конденсаторов в батареи.

142

При параллельном соединении (рис. 3.13) одна из обкладок ка-

ждого конденсатора имеет потенциал 1, а другая 2. Поэтому на

соединенных вместе обкладках накапливается суммарный заряд:

12 12 ( )( ) . kk k qq C C          

Рис. 3.13

Разделив этот заряд на приложенное к батарее напряжение

1 2 U   , найдем емкость батареи:

1 2 ... . C C CC C      k N (3.53)

При последовательном соединении (рис. 3.14) пер-

вая обкладка каждого следующего конденсатора обра-

зует со второй обкладкой предыдущего единый про-

водник, на котором при подключении напряжения воз-

никают индуцированные заряды –q и +q такой же

величины, как заряд +q на первой обкладке первого

конденсатора и заряд –q на второй обкладке последнего

конденсатора. Поэтому напряжение на каждом из кон-

денсаторов Uk = q/Ck, а напряжение на всей батарее

1 . k

k k

q UU q C C    

Отношение U к q дает величину, обратную емко-

сти батареи C:

1 2

1 111 1 ... . C C CC C k N

     (3.54)

3.1.7. Энергия электрического поля

Ранее было показано, что кулоновские силы потенциальны.

Можно показать, что потенциальная энергия взаимодействия N то-

чечных зарядов определяется формулой

п

1

, 1

2

N

i i

i

W q 

   (3.55)

Рис. 3.14

143

где i – потенциал точки пространства, в которой находится заряд qi.

Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рас-

сматривать как систему точечных зарядов qi. Поверхность провод-

ника является эквипотенциальной. Поэтому потенциал точек, в ко-

торых находятся точечные заряды qi, одинаков и равен потенциалу

 проводника. Энергия проводника

п

1 1

111

222 .

N N

i i

i i

W q qq  

      

С использованием определения емкости (3.49) энергия уеди-

ненного проводника

2 2

п 2 2 . 2

q qC W

C

    (3.56)

Энергия конденсатора как системы зарядов, расположенных на

обкладках,

п   1 2 12   . 1 11

2 22 W q q q qU              

С использованием определения емкости (3.51) энергия конденсатора

2 2

п . 22 2

qU q CU W

C   (3.57)

Выразим энергию заряженного плоского конденсатора через

характеристики поля в зазоре между обкладками. Подстановка

(3.52) в (3.57) приводит к соотношению

2 2 2 2

00 0

п 22 2 2

CU U SU E W S d V.

d d

           

В плоском конденсаторе поле однородно. Поэтому энергия

распределена по объему конденсатора равномерно. Следовательно,

в единице объема поля содержится энергия

2

п 0 . 2

W E

V

 

w  

С учетом (3.37) полученное выражение можно представить в виде

2 2

0

0

. 2 22

  E ED D    

w (3.58)

Величина w называется объемной плотностью энергии элек-

трического поля.

144

Соотношение (3.58) получено для случая, когда поле однород-

но. Однако оно будет справедливо для любого электрического поля.

Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти энергию

поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить

интеграл:

2

0

п 2

d d .

V V

E WV V       w (3.59)

Примеры решения задач

№ 1. Два одинаково заряженных маленьких шарика массой по 5 г,

подвешенных на шелковых нитях длиной по 1 м, отталкиваясь друг от

друга, разошлись на 4 см. Найдите величину заряда каждого шарика.

Д а н о: m = 5·10–3 кг,  = 1 м, r = 0,04 м.

Р е ш е н и е. Условие равновесия ша-

риков

F T mg    0.   

В проекциях:

–

–

на ось : sin α 0

на ось : cosα 0

yFT

x T mg

 

  



sin α

cosα

T F

T mg



  tgα

F

mg   F = mg·tgα.

Подставим силу Кулона для вакуума

2

2

q F k

r  в полученное выражение. Получим:

2

2 tgα q k mg

r   

2

2 r mg tgα

q k

  

t . mg gα

q r k

 

По рисунку видно, что

2

2 22 1

2 2

4 . r

a r

           Тогда

22 22

2 0,04 tgα 0,02. 2 24 4 4 0,0016

rr r

a r r         

Отсюда величина заряда каждого шарика

3 12

9

tgα 5 10 10 0,02 10 0,04 0,04 9 10 9

mg q r k

        

145

6

2 8 10 4 10 1,33 10 Кл 13,3 нКл. 3



     

№ 2. Электрон, находящийся в однородном электрическом по-

ле, получил ускорение 1012

м/с

2

. Найдите: 1) напряженность элек-

тростатического поля; 2) скорость, которую получит электрон за

10–6 с своего движения, если начальная скорость его равна нулю;

3) работу сил электростатического поля за это время; 4) разность

потенциалов, пройденную при этом электроном.

Д а н о: a = 1012

м/с

2

; t = 10–6 с; me = 9,1·10–31 кг; qe = 1,6·10–19 Кл.

Р е ш е н и е. По второму за-

кону Ньютона

me a = F.

Сила Кулона F = qeE. Тогда

31 12

19

9,1 10 10 9,1 5,69 1,6 10 1,6

e

e

m a E

q





      В/м.

Скорость электрона v = at = 1012·10–6 = 106 м/с.

Работа электрического поля равна изменению кинетической

энергии:

22 2 31 12

0 9,1 10 10 19 4,55 10 Дж. 222 2

mmm ee e А



        vvv

Выразим работу электрического поля через разность потенциалов:

А = qe(φ1 – φ2).

Отсюда

19

1 2 19

4,55 10 ( 2,84 В. 1,6 10 e

А

q





      

№ 3. Поле создано двумя равномерно заряженными концен-

трическими сферами радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см. Сферы имеют

заряды: q1 = 2 нКл и q2 = – 1 нКл. Определите напряженность элек-

трического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях

r1 = 3 см, r2 = 6 см, r3 = 10 см.

Р е ш е н и е. Используем теорему Гаусса:

охв

1

0

Ф d ,

N

i

i

E n

S

q

E S    

   



v

146

где охв

i q – заряды, охваченные гауссо-

вой поверхностью. Выберем гауссову

поверхность (воображаемую) в виде

сферы радиусом r3, описанной вокруг

заряженных сфер. Вектор напряжен-

ности 3



Е в каждой точке гауссовой

поверхности перпендикулярен ей и

3  const 

Е . Поток вектора 3



Е поля,

созданного обеими заряженными сфе-

рами,

2 Ф 3 3 33 d d4π . E

S S

   ES E S E r     

В правой части теоремы Гаусса стоит алгебраическая сумма

всех зарядов, находящихся внутри воображаемой поверхности (ох-

ватываемых этой поверхностью), т.е.

1 2

0

Ф . ε E

q q   

Следовательно, 2 1 2

3 3

0

4π ;отсюда

ε

q q E r   

9

1 2

3 2 12 2

0 3

(2 1) 10 899 В/м. 4πε 4 3,14 8,85 10 10

q q E

r



 

      

Рассуждая аналогично, для сферической гауссовой поверхно-

сти радиусом r2 получаем:

2 1

2 2

0

4π

ε

q E r   



9

1

2 2 12 4

0 2

2 10 49,95 кВ/м

4πε 4 3,14 8,85 10 36 10 . q E

r



 

      

Внутри гауссовой поверхности радиусом r1 заряда нет, поток

Ф 0, E

  следовательно, Е1 = 0.

№ 4. На пластинах плоского конденсатора равномерно распре-

делен заряд с поверхностной плотностью 0,2 мкКл/м

2

. Расстояние

между пластинами равно 1 мм. Насколько изменится разность по-

147

тенциалов на его обкладках при увеличении расстояния между

пластинами до 3 мм?

Дано: σ = 0,2 мкКл/м

2

, d1 = 1 мм, d2 = 3 мм.

Решение. Электроемкость конденсатора по

определению

φ

. Δ

q C  Электроемкость плоского

конденсатора 0 ε ε . S C

d  Приравнивая Δφ

q к

0 ε ε , S

d получим

0

Δφ

ε ε . qd

S 

Поверхностная плотность σ  q

S

 q S  σ . Следовательно, по-

лучаем:

0

σ Δφ , ε ε

d  2 1

2 1 21

000

σ σ σ Δφ Δφ ( ).

εε εε εε

d d   d d Если между

пластинами конденсатора воздух, то  = 1. Окончательно получим

следующее изменение разности потенциалов:

6

3

2 1 21 12

0

σ 0,2 10 Δφ Δφ ( ) (3 1) 10 45 В. ε 8,85 10







        d d

№ 5. Конденсаторы соединены в батарею

так, как показано на рисунке. Конденсаторы

имеют следующие электроемкости: C1 = 0,2 мкФ,

С2 = 0,1 мкФ, С3 = 0,3 мкФ, С4 = 0,4 мкФ. Опре-

делите электроемкость С батареи конденсато-

ров.

Р е ш е н и е. Пары конденсаторов C1 и С2, С3 и С4 соединены па-

раллельно, поэтому: C1,2 = C1 + С2 = 0,3 мкФ, С3,4 = С3 + С4 = 0,7 мкФ.

Исходная цепь преобразуется к цепи , где конденса-

торы соединены последовательно. Отсюда

1,2 3,4

11 1

 

СС С



12

1,2 3,4

6

1,2 3,4

0,3 0,7 10 0,21 мкФ. (0,3 0,7) 10





      

С С

С

С С

№ 6. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов

U = 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик –

стекло (ε = 7). Определите объемную плотность энергии поля кон-

денсатора.

148

Р е ш е н и е. Энергия конденсатора

2

2  CU W . Электроемкость

плоского конденсатора 0ε . ε S C

d  С учетом того, что объем конден-

сатора V = Sd, получим:

00 0

2 2

εε εε εε . S Sd V C

dd d  

Тогда

2

0

2

ε ε . 2

VU W

d 

Объемная плотность энергии поля конденсатора вычисляется

по формуле:

2 12 6

0 3

2 4

ε ε 8,85 10 7 10 0,31 Дж/м .