ЛенЭлектроЩит

Производство электрощитового оборудования

Меню

Кабель и провод
Арматура кабельная
Низковольтное оборудование
Светильники
Лампы
Розетки, выключатели
Электрощитовое оборудование
ГРЩ
ВРУ
АВР
ЩУН
Я5000
Комплектующие
Распределительные щиты Prisma
Автоматический выключатель.
Шкафы FORT на 4000А
Автоматические выключатели Tmax
Выключатели нагрузки
Контакторы
Шина
Реле температуры на микроконтроллерах
Блок АВР
АВДТ ABB DS800 на 125 А
Статьи
Энергия
Нетрадиционная энергетика
Традиционная энергия
Электротехника
Трансформаторы
Электродвигатели
Электропривод
Электростанции
Техническая информация
Энергоснабжение потребителей
Охрана труда
Трансформаторы
Система автоматического запуска генератора
Двигатели
Пускатели
Учет
Испытания
Электрическая нагрузка. Виды электрических нагрузок.
Основные этапы производства электромонтажных работ
Организация и производство электромонтажных работ
Обучение
Физика
Электротехника

3.1. Электростатика

Электростатика – раздел электродинамики, в котором рас-

сматриваются свойства и взаимодействия неподвижных в инерци-

альной системе отсчета электрически заряженных тел или частиц,

обладающих электрическим зарядом.

 

3.1.1. Электрический заряд и его свойства

Электрический заряд

Электрические заряды бывают двух видов. Их условно назвали по-

ложительными и отрицательными. Заряды взаимодействуют между

собой: одноименные – отталкиваются, разноименные – притягиваются.

Носителями зарядов являются элементарные частицы (мель-

чайшие частицы материи).

Наименьший встречающийся в природе электрический заряд

называется элементарным зарядом e = 1,6021892*10–19 Кл. Элемен-

тарные частицы: электрон, протон и нейтрон – несут заряды –e,

+e, 0 соответственно. Из этих частиц построены атомы любого ве-

щества, поэтому электрические заряды входят в состав всех тел.

Обычно электроны и протоны имеются в равных количествах

и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае ал-

гебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме тела

равна нулю, вследствие чего каждый такой объем (и тело в целом)

оказываются нейтральными.

Всякий заряд образуется совокупностью элементарных заря-

дов, поэтому он является целым кратным e:

q = ± N e. (3.1)

Если физическая величина может иметь только дискретные

(т.е. разделенные конечными промежутками) значения, говорят, что

эта величина квантуется; электрический заряд квантуется.

Электрические заряды могут возникать и исчезать. Однако все-

гда возникают или исчезают одновременно два одинаковых заряда

разных знаков.

Примеры:

1. Электрон и позитрон (антиэлектрон) при встрече аннигили-

руют, т.е. превращаются в нейтральные частицы, называемые гам-

ма-фотонами. При этом исчезают заряды +e и –e.

2. В ходе процесса, называемого рождением пары, гамма-

фотон при определенных условиях превращается в пару частиц –

электрон и позитрон.

Таким образом, существует закон сохранения электриче-

ского заряда: суммарный заряд электрически изолированной сис-

темы не может изменяться.

Закон Кулона

Точечный заряд – заряженное тело, размерами которого можно

пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел.

Закон взаимодействия точечных зарядов установил экс-

периментально Шарль Огюстен Кулон в 1785 г. с помощью изобре-

тенных им крутильных весов: сила F взаимодействия двух неподвиж-

ных точечных зарядов, находящихся в вакууме, направлена вдоль пря-

мой, соединяющей заряды, пропорциональна величинам зарядов q1 и q2

и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:

F=k(|q1||q2|)/r2 (3.2)

где коэффициент пропорциональности k=9*109 (Нм2/Кл2)

Для вектора силы, действующей со стороны первого заряда на

второй (рис. 3.1), получается соотношение:

F12=k*((q1q2)/r2)er

где er - единичный направляющий вектор

3.1.2. Напряженность электростатического поля

Исследуем поле неподвижного точечного

заряда q с помощью точечного пробного заряда

q' (рис. 3.3). В соответствии с законом Кулона

на пробный заряд будет действовать сила

2

0

1 . 4 r

q Fq e

r

    

  

 

Отношение /'

F q не зависит от величины заряда q', следова-

тельно, является характеристикой поля. Напряженность 

E элек-

r

er q1

q2

F12

Рис. 3.1

q1

q2

F1

F2

q

F

Рис. 3.2

r

er

q

q’

F

Рис. 3.3

126

трического поля численно равна силе, действующей на единичный

точечный заряд:

.

'

F E

q

  (3.6)

Направление вектора E

 совпадает с направлением силы, дей-

ствующей на положительный заряд.

Единица измерения напряженности в СИ – вольт на метр,

E  В/м.

Из соотношений (3.4) и (3.6) следует, что поля складываются,

не возмущая друг друга:

1

.

N

i

i

E E 

    (3.7)

Это следствие называется принципом суперпозиции напряжен-

ностей.

Из закона Кулона (3.5) и определения напряженности (3.6)

можно найти напряженность поля точечного заряда:

точ 2

0

1

4 .r

q E e

r  

  (3.8)

Поле называется однородным, если вектор 

E одинаков в каж-

дой точке.

3.1.3. Энергия взаимодействия зарядов

Работа поля по перемещению заряда

Пусть точечный заряд q', нахо-

дящийся в поле неподвижного то-

чечного заряда q, переместился

вдоль некоторой траектории из по-

ложения 1 в положение 2 (рис. 3.4).

Найдем работу A12, совершаемую

при этом над зарядом q' силами поля,

в котором он находится. На заряд q'

действует сила 2

0

. 1

4 r

q q F e

r

  

 

Элементарная работа этой силы

2

0

1 dd d , 4 r

q q AF e

r

    

     

r1 q er

q’

F

1

2

dr

r2

d

Рис. 3.4

127

где d



 – элементарное перемещение заряда q'. Из рис. 3.4 видно,

что d d r e r  

   – приращение расстояния между зарядами. Для ра-

боты на участке 1–2 получается выражение

12 2

0 01 02

'd 1 ' 1 '

44 4 , qq r qq qq A

rrr      

2

1

(3.9)

откуда следует, что работа силы не зависит от пути, по которому пе-

ремещался заряд q', а зависит лишь от начального и конечного поло-

жений заряда. Работа по произвольной замкнутой траектории равна

нулю (т.е. сила Кулона потенциальна): , F qE d 'd 0    

 

    

   

E d 0.  

 

  (3.10)

Выражение d E  

 

  называется циркуляцией вектора E

 по

контуру .

Соотношение (3.10) выражает теорему о циркуляции век-

тора E :

 циркуляция вектора напряженности электростатиче-

ского поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Если цир-

куляция векторной характеристики некоторого поля равна нулю, то

говорят, что поле потенциально (условие потенциальности).

Работа потенциальных сил может быть представлена как убыль

потенциальной энергии (см. (1.90)):

A12 = Wп1 – Wп2. (3.11)

Сопоставив (3.9) и (3.11), получим для потенциальной энергии,

которой обладает заряд q' в поле заряда q, выражение

п

0

1 '

const.

4

 



q q W

r

На бесконечно большом расстоянии заряды не взаимодейству-

ют, следовательно потенциальная энергия при r =  должна обра-

щаться в нуль:

п

0

1 '

4  

q q W

r

. (3.12)

128

Выражение (3.12) можно трактовать как взаимную потенци-

альную энергию зарядов q и q', находящихся на расстоянии r.

Потенциал

Скалярная величина

п

'

W

q

  (3.13)

не зависит от величины заряда q' и может быть использована для

характеристики поля заряда q. Эта величина называется потенциа-

лом поля в данной точке.

Из сказанного выше следует, что потенциал поля точечного за-

ряда q определяется выражением

точ

0

1

4

q

r

 



, (3.14)

где r – расстояние от заряда до данной точки поля.

Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгеб-

раической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов

в отдельности:

1

N

i

i

   . (3.15)

Из определения потенциала (3.13) следует, что заряд q, нахо-

дящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной

энергией

Wп = q . (3.16)

Таким образом, работу сил поля над зарядом q можно выразить

через разность потенциалов:

A12 = Wп1 – Wп2 = q (1 – 2) = q U, (3.17)

где U – напряжение; U = 1 – 2 = –. Таким образом, работа, со-

вершаемая над зарядом силами поля, равна произведению заряда на

убыль потенциала.

Единица измерения потенциала (и напряжения) – вольт,

[] = [U] = В. Один вольт соответствует потенциалу в такой точке,

для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного од-

129

ному кулону, нужно совершить работу в один джоуль:

1 В = 1 Дж / 1 Кл.

В физике часто пользуются единицей работы и энергии, назы-

ваемой электронвольтом (эВ) и равной работе, совершаемой сила-

ми поля над элементарным зарядом e при прохождении им разно-

сти потенциалов в один вольт:

1 эВ = 1,610–19 Кл  1 В = 1,610–19 Дж.

В быту же используется единица работы киловатт-час (кВт·ч):

1 кВтч = 3,6106 Дж.

Связь напряженности и потенциала

Электростатическое поле можно описать либо с помощью век-

торной величины 

E (силовой характеристики поля), либо с помо-

щью скалярной величины  (энергетической характеристики поля).

Очевидно, что эти величины должны быть как-то связаны друг

с другом.

При перемещении точечного заряда q вдоль некоторого на-

правления на отрезок d



 силы поля совершат над ним работу

d d A qE qE   d , 

 

 

где E – проекция вектора E

на направление перемещения.

Иначе эту работу можно выразить через убыль потенциала:

d d ( ). Aq q       / d  

Приравняв оба выражения для работы, получим соотношение

qE q d ( / )d ,        откуда следует, что

φ E .       (3.18)

Таким образом, проекция вектора 

E на произвольное направ-

ление равна изменению потенциала на единицу длины вдоль этого

направления.

Взяв в качестве направления координатные оси x, y, z, получим

выражения для компонент вектора 

E :

φ , Ex x

   

φ , Ey y

   

φ . Ez z

    (3.19)

130

Для однородного поля или для оценочных расчетов можно записать:

1 2 , φ φ U E      (3.20)

откуда становится понятной единица измерения напряженности

вольт на метр.

Графическое изображение полей

Электростатическое поле можно изобразить с помощью сило-

вых линий и эквипотенциальных поверхностей.

Силовые линии – воображае-

мые линии, касательные к кото-

рым в каждой точке совпадают с

направлением вектора напряжен-

ности в этой точке поля. Они на-

чинаются на положительных и

заканчиваются на отрицательных

зарядах, не пересекаются.

Эквипотенциальная поверх-

ность (линия) – поверхность

(линия) равного потенциала.

На рис. 3.5 изображены си-

ловые (сплошные) и эквипотен-

циальные (пунктирные) линии

для положительного точечного

заряда (а), отрицательного точечного заряда (б) и диполя (в).

Диполь – система двух равных по модулю, но противоположных

по знаку зарядов, находящихся на малом расстоянии друг от друга.

3.1.4. Поток напряженности электрического поля.

Теорема Гаусса

Элементарный поток dФE

 вектора 

E

через поверхность площадью dS с нормалью 

n (рис. 3.6) определяется по формуле

dФ d cos d d , E      En S E S E S n 

  (3.21)

где 

n – нормаль к поверхности (внешняя для замкнутых поверхно-

стей).

E E

>0

E

2<0 1 1

0 <0

а) б)

в)

2>0

Рис. 3.5

n E

dS

Рис. 3.6

а б

в

131

Для произвольной поверхности S поток вектора E

Ф d . E n

S

 E S   (3.22)

Напряженность поля точечного заряда определяется выраже-

нием (3.8). Линии поля в этом случае представляют собой цен-

трально-симметричную систему радиальных прямых, направлен-

ных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицате-

лен (см. рис. 3.5, а и б).

Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность радиу-

сом r, в центре которой помещается положительный точечный за-

ряд q. В каждой точке этой поверхности 2

0 (1/ 4 ) / . En   q r Следо-

вательно, поток вектора E

 через поверхность

2

2

0 0

1 Ф d 4

4 . E n n

S

q q E S ES r

r

   

    

Это выражение не зависит от радиуса поверхности r. Это оз-

начает, что число линий поля на любом расстоянии от заряда од-

но и то же. Отсюда вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не

начинаются и не заканчиваются; начавшись на положительном

заряде, они заканчиваются на отрицательном заряде (в нашем

случае на бесконечности). Источниками электростатического по-

ля могут служить только заряды, причем мощность этих источ-

ников равна q/0.

Обобщив полученный результат на случай произвольного чис-

ла зарядов любого знака, приходим к теореме Гаусса: поток

вектора напряженности электростатического поля через замкну-

тую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри

этой поверхности зарядов, деленной на 0:

0

1 Ф d . E n

S

  ES q

    (3.23)

Для заряда, распределенного по телу некоторым образом, ис-

пользуется понятие плотности электрического заряда.

Объемная плотность заряда  (Кл/м3

) – заряд в единице объема;

поверхностная плотность заряда  (Кл/м

2

) – заряд на единице пло-

щади; линейная плотность заряда  (Кл/м) – заряд на единице длины:

132

d ;

dq

V  

d

; d

q

S

 

d . d

q  

 (3.24)

С помощью теоремы Гаусса можно рассчитать поля заряжен-

ных тел, обладающих элементами симметрии: поле бесконечной

однородно заряженной плоскости; поле однородно заряженного

бесконечного цилиндра; поле однородно заряженной сферы или

шара.

Пример 1. Поле бесконеч-

ной равномерно заряженной

плоскости с поверхностной

плотностью заряда  оказыва-

ется однородным (рис. 3.7, а):

0 2

  

E . (3.25)

Пример 2. Поле двух па-

раллельных бесконечных рав-

номерно заряженных плоско-

стей с поверхностными плот-

ностями заряда  и – (рис. 3.7, б) можно найти, используя принцип

суперпозиции (3.7). Между плоскостями поля имеют одинаковое на-

правление, слева и справа от плоскостей – противоположные, поэто-

му, напряженность оказывается отличной от нуля только между

плоскостями:

0

  

E . (3.26)

Пример 3. Поле равномерно заряженной сферы радиусом R

оказывается таким же, как и у точечного заряда вне сферы

(рис. 3.7, в). Внутри поле отсутствует, так как там нет зарядов и си-

ловым линиям негде было бы оканчиваться. Пусть q – заряд сферы,

тогда:

2

0

0, если ;

1 , если . 4

 

      

r

r R

E q r R

r

(3.27)

  E

E

-

-

-

-

-

-

-

- + - +

+

+

+

+

+

+

E

0 R r

а) б)

в)

Рис. 3.7

а б

в

r

133

С использованием (3.18) можно показать, что зависимость по-

тенциала от расстояния вне сферы будет такая же, как у точечного

заряда. Внутри потенциал такой же, как на поверхности, так как

внутри поля нет:

0

0

1 , если ; 4

1 , если . 4

q r R

R

q r R

r

   

  

   

(3.28)

3.1.5. Электростатическое поле в диэлектриках

Диэлектрики (изоляторы) – вещества, в которых заряды не мо-

гут перемещаться упорядоченно.

Атомы и молекулы состоят из положительно заряженных ядер

и движущихся вокруг них отрицательно заряженных электронов.

У диэлектриков заряды, входящие в состав молекулы, прочно свя-

заны друг с другом и могут быть разъединены только при воздейст-

вии на них очень сильного поля. Поэтому заряды, входящие в со-

став молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием

внешнего поля связанные заряды разных знаков лишь немного

смещаются в противоположные стороны; покинуть пределы моле-

кулы, в состав которой они входят, связанные заряды не могут.

Связанные заряды – это заряды, входящие в состав молекулы

и прочно соединенные друг с другом.

Внутри или на поверхности диэлектрика могут находиться за-

ряды, которые не входят в состав его молекул. Такие заряды, а так-

же заряды, расположенные за пределами диэлектрика, мы будем

называть сторонними.

Сторонние (свободные) заряды – это заряды, не входящие

в состав молекул диэлектрика.

В зависимости от взаимного расположения зарядов разных

знаков наблюдаются два типа молекул. У молекул одного типа цен-

тры положительных и отрицательных зарядов смещены друг отно-

сительно друга. Такие молекулы называются полярными (HCl,

H2O). У молекул другого типа, называемых неполярными, вследст-

вие их симметрии центры положительных и отрицательных зарядов

совпадают (H2, N2, O2).

Полярные молекулы подобны электрическому диполю.

134

Электрический диполь – система двух отличающихся только

знаком точечных зарядов +q и –q, расстояние  между которыми

мало по сравнению с расстояниями до тех точек, в которых рас-

сматривается поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда,

называется осью диполя. Ориентацию оси диполя в пространстве

можно задать с помощью вектора 

 , проведенного от заряда –q

к заряду +q.

Электрический момент диполя (дипольный момент)

  

p q  . (3.29)

Если диполь находится

в однородном электрическом

поле (рис. 3.8), на его заряды

действуют равные по модулю,

противоположно направлен-

ные силы  

qE и  

qE . Эти

силы образуют пару, плечо ко-

торой равно  sin  . Модуль

момента пары сил равен про-

изведению силы на плечо:

M qE pE  sin sin  . (3.30)

Вращающий момент 

M перпендикулярен к векторам 

p и 

E ;

 есть угол между векторами 

p и 

E . Поэтому можно написать:

     M p E . (3.31)

Таким образом, однородное электрическое поле оказывает на

диполь ориентирующее действие, стремясь установить его по полю.

Под действием внешнего электрического поля полярные и непо-

лярные молекулы ведут себя по-разному. На полярные молекулы по-

ле в основном оказывает ориентирующее действие, стремясь устано-

вить их дипольными моментами по полю. Величину дипольного мо-

мента полярной молекулы поле существенно не изменяет.

Ориентирующему действию поля на полярные молекулы противится

тепловое движение, которое стремится разбросать моменты молекул

равномерно по всем направлениям. В результате противоборства

этих двух тенденций устанавливается преимущественная ориентация

дипольных моментов по полю, тем большая, чем сильнее поле и чем

Рис. 3.8

135

ниже температура. Это приводит к тому, что вещество в целом при-

обретает электрический дипольный момент или, как говорят, поляри-

зуется. Такой вид поляризации называется ориентационной поляри-

зацией.

Действие поля на неполярную молекулу приводит к тому, что

центр положительных зарядов смещается в направлении поля,

а центр отрицательных зарядов – в противоположную сторону.

В результате неполярная молекула приобретает индуцированный

(наведенный) дипольный момент, точно ориентированный по полю.

Такая поляризация называется электронной. Экспериментально ус-

тановлено, что взаимное смещение центров зарядов, а следователь-

но, и дипольный момент пропорциональны напряженности поля,

т.е. силе, действующей на заряды. В этом отношении неполярная

молекула сходна с пружиной, удлинение которой пропорционально

приложенной к ней силе. По этой причине неполярные молекулы

называются упругими диполями. Соответственно полярные молеку-

лы называют жесткими диполями.

Независимо от типа молекул диэлектрики под действием

внешнего поля приобретают дипольный момент. Это явление назы-

вается поляризацией диэлектрика.

В качестве количественной характеристики поляризации есте-

ственно взять дипольный момент единицы объема диэлектрика, ко-

торый называется поляризованностью диэлектрика и обозначается

буквой 

P 2 (Кл м ):

1 . V

P p V 

     (3.32)

Поляризованный диэлектрик становится источником электри-

ческого поля 

E , которое накладывается на поле сторонних зарядов

0

E . В итоге возникает поле

0 EE E   .   (3.33)

Молекулы испытывают действие суммарного поля 

E . Поэтому

и поляризованность диэлектрика определяется этим полем. Опыт

показывает, что независимо от типа молекул в не слишком сильных

полях поляризованность большинства изотропных диэлектриков

(кроме сегнетоэлектриков) пропорциональна напряженности поля

в этой точке:

136

0 P E  ε ,   (3.34)

где  – не зависящая от 

E характеристика диэлектрика, называе-

мая диэлектрической восприимчивостью.

Электрическая постоянная 0  введена в формулу (3.34) для то-

го, чтобы сделать диэлектрическую восприимчивость безразмерной

величиной.

Если нормальная составляющая напряженности поля 

E для

данной поверхности отлична от нуля, то под действием поля заряды

одного знака уходят внутрь, а заряды другого знака выходят нару-

жу. В результате в тонком поверхностном слое диэлектрика возни-

кает избыток связанных зарядов одного знака.

На поверхности тела могут располагаться не только связанные,

но и сторонние заряды. Чтобы различить эти два случая, будем по-

верхностную плотность сторонних зарядов обозначать , а поверх-

ностную плотность связанных зарядов – символом ', аналогично

объемную плотность сторонних зарядов – символом , а объемную

плотность связанных зарядов – символом '.

Связь поверхностной плотности связанных зарядов с поляризо-

ванностью и напряженностью такова:

σ ε0 , P E n n    (3.35)

где Pn – проекция поляризованности на внешнюю нормаль к по-

верхности; En – проекция напряженности поля внутри диэлектрика

на внешнюю нормаль.

Связанные заряды, как и любые другие электрические заряды,

являются источниками электрического поля, на них начинаются

или оканчиваются линии напряженности E.

Для расчета полей в диэлектриках вместо напряженности 

E

более удобной оказывается величина 

D , силовые линии которой

начинаются или оканчиваются только на сторонних зарядах:

0 D EP    .    (3.36)

Эта величина называется электрическим смещением поля (дру-

гое название: электрическая индукция). Связанные заряды не явля-

ются источниками поля вектора D.

Из (3.34) и (3.36) получаем:

D EE    ε0 0 1  ε ε ,    (3.37)

137

где безразмерная величина

ε 1  (3.38)

называется диэлектрической проницаемостью вещества. Ее опре-

деляют экспериментально. В вакууме  = 1, в воздухе   1, в воде

 = 81. Диэлектрическая проницаемость  показывает, во сколько

раз ослабляется поле за счет диэлектрика.

Для электрического смещения D

 также можно сформулиро-

вать теорему Гаусса: поток электрического смещения через замк-

нутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних заря-

дов, заключенных внутри этой поверхности:

Ф d . D n

S

    DS q  (3.39)

Векторы E

 и D

 на границе раздела двух однородных и изо-

тропных диэлектрических сред 1 и 2 с диэлектрическими прони-

цаемостями соответственно 1 и 2 должны удовлетворять опреде-

ленным условиям, которые могут быть получены из теоремы Гаус-

са для D

 и теоремы о циркуляции E.

 Поскольку среды изотропны,

из соображений симметрии следует, что векторы E1

 и E2

 лежат

в одной плоскости (аналогично для D1

 и 2 D ). 

Линии вектора D

 могут начинаться или оканчиваться только на

сторонних зарядах. Поэтому, если на границе раздела таких зарядов

нет, линии D

 проходят через границу, не прерываясь (рис. 3.9), при-

чем их нормальные составляющие одинаковы в обоих диэлектриках

(в непосредственной близости к границе раздела сред):

D1n = D2n. (3.40)

Из (3.37) следует, что нормальные

составляющие напряженности связа-

ны соотношением

E1n/E2n = 2/1. (3.41)

Для касательных составляющих

получаются соотношения:

E1 = E2, (3.42)

D1/D2 = 1/2. (3.43)

Соотношения (3.40)–(3.43) определяют условия, которым

удовлетворяют векторы E

 и D

 на границе раздела двух диэлек-

1



D1

D2

1

2

D

D Dn

Рис. 3.9

n

138

триков. Из них вытекает, что тангенциальная составляющая вектора

E

 и нормальная составляющая вектора D

 при переходе через гра-

ницу раздела изменяются непрерывно. Нормальная же составляю-

щая вектора E

 и тангенциальная составляющая вектора D

 при пе-

реходе через границу раздела изменяются скачком, т.е. претерпе-

вают разрыв.

По рис. 3.9 видно, что tg = D/Dn. Поэтому

1 1 11 1

2 22 2 2

tg / . tg /

n

n

DD D

DD D

 

 

     

(3.44)

Это отношение выражает закон преломления линий электриче-

ского смещения (и линий напряженности поля).

3.1.6. Проводники в электростатическом поле

Условия равновесия зарядов на проводнике

Носители заряда в проводниках приходят в движение под дей-

ствием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов

на проводнике необходимо выполнение двух условий (рис. 3.10):

1) напряженность поля внутри проводника

должна быть равна нулю:

внутр E  0; (3.45)

2) напряженность поля на поверхности про-

водника должна в каждой точке быть направлена

по нормали к поверхности:

пов . E E  n (3.46)

Первое условие означает, что потенциал внутри проводника дол-

жен быть постоянным. Из второго условия следует, что в случае равно-

весия зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной.

Распределение зарядов на проводнике

Сообщенный проводнику заряд распределяется по поверхности

проводника (иначе внутри поле было бы отлично от нуля).

В случае полого проводника избыточный заряд также распре-

деляется по внешней поверхности. Линиям поля, начавшимся

(окончившимся) на заряде, находящемся на поверхности полости,

не на чем было бы окончиться (начаться) – в теле проводника ли-

ний поля нет, а внутри полости заряды отсутствуют.

Рис. 3.10

139

С помощью теоремы Гаусса для вектора 

D можно найти поле

у поверхности заряженного проводника:

пов D  , (3.47)

пов

0

E ,    

(3.48)

где  – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей про-

водник.

На больших расстояниях от заря-

женного проводника любой формы экви-

потенциальные поверхности имеют ха-

рактерную для поля точечного заряда

форму сферы (рис. 3.11). По мере при-

ближения к проводнику эквипотенциаль-

ные поверхности становятся все более

сходными с поверхностью проводника,

которая является эквипотенциальной.

Вблизи выступов эквипотенциальные по-

верхности располагаются гуще, а значит, и напряженность поля

здесь больше. Отсюда следует, что плотность заряда на выступах

особенно велика. К такому же выводу можно прийти, учтя, что

вследствие взаимного отталкивания заряды стремятся располо-

житься как можно дальше друг от друга.

Плотность заряда растет с увеличением положительной кри-

визны (выпуклости) поверхности и убывает с увеличением отрица-

тельной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плотность

заряда на остриях.

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле

носители заряда приходят в движение: положительные в направ-

лении вектора , E

 отрицательные – в противоположную сторону.

В результате на концах проводника

возникают заряды противоположных

знаков, называемые индуцированны-

ми зарядами (рис. 3.12). Поле этих

зарядов направлено противоположно

внешнему полю. Перераспределение

носителей заряда происходит до тех

пор, пока не окажутся выполненны-

ми условия (3.45) и (3.46), т.е. пока

Рис. 3.11

Рис. 3.12

140

напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а

линии напряженности вне проводника – нормальными к его по-

верхности.

Таким образом, незаряженный проводник, внесенный в элек-

трическое поле, разрывает часть линий напряженности – они окан-

чиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь на-

чинаются на положительных.

Индуцированные заряды располагаются на внешней поверхно-

сти проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при

равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри

нее равно нулю. На этом основывается электростатическая защита.

Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних по-

лей, его окружают проводящим экраном. Внешнее поле компенси-

руется внутри экрана возникающими на его поверхности индуци-

рованными зарядами.

Электроемкость

Сообщим некоторому уединенному проводнику заряд q. Этот

заряд распределится по поверхности проводника так, чтобы выпол-

нялись условия (3.45) и (3.46). Если сообщить проводнику еще та-

кую порцию заряда q, она распределится по поверхности точно так

же, как первая.

Это означает, что различные по величине заряды распределя-

ются по поверхности уединенного проводника подобным образом:

отношение плотностей заряда в двух произвольно взятых точках

поверхности при любой величине заряда будет одним и тем же. От-

сюда следует, что потенциал уединенного проводника пропорцио-

нален находящемуся на нем заряду: q = C .

Коэффициент пропорциональности C называется электроемко-

стью уединенного проводника,

С = q / . (3.49)

Пример. С учетом (3.28) можно найти емкость шара радиусом

R, погруженного в безграничный однородный и изотропный ди-

электрик с проницаемостью :

шара 0 C R.    4 (3.50)

141

За единицу электроемкости принимается емкость такого про-

водника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему

заряда в 1 Кл. Эта единица называется фарадом, [C] = Ф. Емкостью

в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9109 м, т.е. радиусом,

в 1500 раз большим радиуса Земли.

Емкость уединенных проводников невелика. Например, шар таких

размеров, как Земля, обладает емкостью всего лишь 700 мкФ. Вместе

с тем бывают нужны устройства, которые при небольшом потенциале

накапливали бы на себе большие заряды. Такие устройства называются

конденсаторами. Это два проводника (обкладки), помещенные близко

друг к другу. Для того, чтобы внешние тела не влияли на емкость кон-

денсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их отно-

сительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них

зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию

удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два

коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно

бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии элек-

трического смещения начинаются на одной обкладке и заканчива-

ются на другой. Следовательно, сторонние заряды, сообщаемые об-

кладкам, имеют одинаковую величину и различны по знаку.

Емкость конденсатора

C q qU     / /  1 2  , (3.51)

где U – напряжение между обкладками.

Пример. Пусть площадь обкладки плоского конденсатора равна S,

а расстояние между обкладками d << S. Зазор между обкладками

предполагается заполненным диэлектриком с проницаемостью .

В этом случае напряженность поля в диэлектрике (по формуле (3.26))

E q S Ud        / / /.  0 0   

Отсюда емкость плоского конденсатора

плоск.конд 0 . S C

d    (3.52)

Располагая некоторым набором конденсаторов, можно полу-

чить много различных значений емкости, если применить соедине-

ние конденсаторов в батареи.

142

При параллельном соединении (рис. 3.13) одна из обкладок ка-

ждого конденсатора имеет потенциал 1, а другая 2. Поэтому на

соединенных вместе обкладках накапливается суммарный заряд:

12 12 ( )( ) . kk k qq C C          

Рис. 3.13

Разделив этот заряд на приложенное к батарее напряжение

1 2 U   , найдем емкость батареи:

1 2 ... . C C CC C      k N (3.53)

При последовательном соединении (рис. 3.14) пер-

вая обкладка каждого следующего конденсатора обра-

зует со второй обкладкой предыдущего единый про-

водник, на котором при подключении напряжения воз-

никают индуцированные заряды –q и +q такой же

величины, как заряд +q на первой обкладке первого

конденсатора и заряд –q на второй обкладке последнего

конденсатора. Поэтому напряжение на каждом из кон-

денсаторов Uk = q/Ck, а напряжение на всей батарее

1 . k

k k

q UU q C C    

Отношение U к q дает величину, обратную емко-

сти батареи C:

1 2

1 111 1 ... . C C CC C k N

     (3.54)

3.1.7. Энергия электрического поля

Ранее было показано, что кулоновские силы потенциальны.

Можно показать, что потенциальная энергия взаимодействия N то-

чечных зарядов определяется формулой

п

1

, 1

2

N

i i

i

W q 

   (3.55)

Рис. 3.14

143

где i – потенциал точки пространства, в которой находится заряд qi.

Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рас-

сматривать как систему точечных зарядов qi. Поверхность провод-

ника является эквипотенциальной. Поэтому потенциал точек, в ко-

торых находятся точечные заряды qi, одинаков и равен потенциалу

 проводника. Энергия проводника

п

1 1

111

222 .

N N

i i

i i

W q qq  

      

С использованием определения емкости (3.49) энергия уеди-

ненного проводника

2 2

п 2 2 . 2

q qC W

C

    (3.56)

Энергия конденсатора как системы зарядов, расположенных на

обкладках,

п   1 2 12   . 1 11

2 22 W q q q qU              

С использованием определения емкости (3.51) энергия конденсатора

2 2

п . 22 2

qU q CU W

C   (3.57)

Выразим энергию заряженного плоского конденсатора через

характеристики поля в зазоре между обкладками. Подстановка

(3.52) в (3.57) приводит к соотношению

2 2 2 2

00 0

п 22 2 2

CU U SU E W S d V.

d d

           

В плоском конденсаторе поле однородно. Поэтому энергия

распределена по объему конденсатора равномерно. Следовательно,

в единице объема поля содержится энергия

2

п 0 . 2

W E

V

 

w  

С учетом (3.37) полученное выражение можно представить в виде

2 2

0

0

. 2 22

  E ED D    

w (3.58)

Величина w называется объемной плотностью энергии элек-

трического поля.

144

Соотношение (3.58) получено для случая, когда поле однород-

но. Однако оно будет справедливо для любого электрического поля.

Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти энергию

поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить

интеграл:

2

0

п 2

d d .

V V

E WV V       w (3.59)

Примеры решения задач

№ 1. Два одинаково заряженных маленьких шарика массой по 5 г,

подвешенных на шелковых нитях длиной по 1 м, отталкиваясь друг от

друга, разошлись на 4 см. Найдите величину заряда каждого шарика.

Д а н о: m = 5·10–3 кг,  = 1 м, r = 0,04 м.

Р е ш е н и е. Условие равновесия ша-

риков

F T mg    0.   

В проекциях:

на ось : sin α 0

на ось : cosα 0

yFT

x T mg

 

  

sin α

cosα

T F

T mg

  tgα

F

mg   F = mg·tgα.

Подставим силу Кулона для вакуума

2

2

q F k

r  в полученное выражение. Получим:

2

2 tgα q k mg

r   

2

2 r mg tgα

q k

  

t . mg gα

q r k

 

По рисунку видно, что

2

2 22 1

2 2

4 . r

a r

           Тогда

22 22

2 0,04 tgα 0,02. 2 24 4 4 0,0016

rr r

a r r         

Отсюда величина заряда каждого шарика

3 12

9

tgα 5 10 10 0,02 10 0,04 0,04 9 10 9

mg q r k

        

145

6

2 8 10 4 10 1,33 10 Кл 13,3 нКл. 3

     

№ 2. Электрон, находящийся в однородном электрическом по-

ле, получил ускорение 1012

м/с

2

. Найдите: 1) напряженность элек-

тростатического поля; 2) скорость, которую получит электрон за

10–6 с своего движения, если начальная скорость его равна нулю;

3) работу сил электростатического поля за это время; 4) разность

потенциалов, пройденную при этом электроном.

Д а н о: a = 1012

м/с

2

; t = 10–6 с; me = 9,1·10–31 кг; qe = 1,6·10–19 Кл.

Р е ш е н и е. По второму за-

кону Ньютона

me a = F.

Сила Кулона F = qeE. Тогда

31 12

19

9,1 10 10 9,1 5,69 1,6 10 1,6

e

e

m a E

q

      В/м.

Скорость электрона v = at = 1012·10–6 = 106 м/с.

Работа электрического поля равна изменению кинетической

энергии:

22 2 31 12

0 9,1 10 10 19 4,55 10 Дж. 222 2

mmm ee e А

        vvv

Выразим работу электрического поля через разность потенциалов:

А = qe(φ1 – φ2).

Отсюда

19

1 2 19

4,55 10 ( 2,84 В. 1,6 10 e

А

q

      

№ 3. Поле создано двумя равномерно заряженными концен-

трическими сферами радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см. Сферы имеют

заряды: q1 = 2 нКл и q2 = – 1 нКл. Определите напряженность элек-

трического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях

r1 = 3 см, r2 = 6 см, r3 = 10 см.

Р е ш е н и е. Используем теорему Гаусса:

охв

1

0

Ф d ,

N

i

i

E n

S

q

E S    

   

v

146

где охв

i q – заряды, охваченные гауссо-

вой поверхностью. Выберем гауссову

поверхность (воображаемую) в виде

сферы радиусом r3, описанной вокруг

заряженных сфер. Вектор напряжен-

ности 3

Е в каждой точке гауссовой

поверхности перпендикулярен ей и

3  const 

Е . Поток вектора 3

Е поля,

созданного обеими заряженными сфе-

рами,

2 Ф 3 3 33 d d4π . E

S S

   ES E S E r     

В правой части теоремы Гаусса стоит алгебраическая сумма

всех зарядов, находящихся внутри воображаемой поверхности (ох-

ватываемых этой поверхностью), т.е.

1 2

0

Ф . ε E

q q   

Следовательно, 2 1 2

3 3

0

4π ;отсюда

ε

q q E r   

9

1 2

3 2 12 2

0 3

(2 1) 10 899 В/м. 4πε 4 3,14 8,85 10 10

q q E

r

 

      

Рассуждая аналогично, для сферической гауссовой поверхно-

сти радиусом r2 получаем:

2 1

2 2

0

ε

q E r   

9

1

2 2 12 4

0 2

2 10 49,95 кВ/м

4πε 4 3,14 8,85 10 36 10 . q E

r

 

      

Внутри гауссовой поверхности радиусом r1 заряда нет, поток

Ф 0, E

  следовательно, Е1 = 0.

№ 4. На пластинах плоского конденсатора равномерно распре-

делен заряд с поверхностной плотностью 0,2 мкКл/м

2

. Расстояние

между пластинами равно 1 мм. Насколько изменится разность по-

147

тенциалов на его обкладках при увеличении расстояния между

пластинами до 3 мм?

Дано: σ = 0,2 мкКл/м

2

, d1 = 1 мм, d2 = 3 мм.

Решение. Электроемкость конденсатора по

определению

φ

. Δ

q C  Электроемкость плоского

конденсатора 0 ε ε . S C

d  Приравнивая Δφ

q к

0 ε ε , S

d получим

0

Δφ

ε ε . qd

S 

Поверхностная плотность σ  q

S

 q S  σ . Следовательно, по-

лучаем:

0

σ Δφ , ε ε

d  2 1

2 1 21

000

σ σ σ Δφ Δφ ( ).

εε εε εε

d d   d d Если между

пластинами конденсатора воздух, то  = 1. Окончательно получим

следующее изменение разности потенциалов:

6

3

2 1 21 12

0

σ 0,2 10 Δφ Δφ ( ) (3 1) 10 45 В. ε 8,85 10

        d d

№ 5. Конденсаторы соединены в батарею

так, как показано на рисунке. Конденсаторы

имеют следующие электроемкости: C1 = 0,2 мкФ,

С2 = 0,1 мкФ, С3 = 0,3 мкФ, С4 = 0,4 мкФ. Опре-

делите электроемкость С батареи конденсато-

ров.

Р е ш е н и е. Пары конденсаторов C1 и С2, С3 и С4 соединены па-

раллельно, поэтому: C1,2 = C1 + С2 = 0,3 мкФ, С3,4 = С3 + С4 = 0,7 мкФ.

Исходная цепь преобразуется к цепи , где конденса-

торы соединены последовательно. Отсюда

1,2 3,4

11 1

 

СС С

12

1,2 3,4

6

1,2 3,4

0,3 0,7 10 0,21 мкФ. (0,3 0,7) 10

      

С С

С

С С

№ 6. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов

U = 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик –

стекло (ε = 7). Определите объемную плотность энергии поля кон-

денсатора.

148

Р е ш е н и е. Энергия конденсатора

2

2  CU W . Электроемкость

плоского конденсатора 0ε . ε S C

d  С учетом того, что объем конден-

сатора V = Sd, получим:

00 0

2 2

εε εε εε . S Sd V C

dd d  

Тогда

2

0

2

ε ε . 2

VU W

d 

Объемная плотность энергии поля конденсатора вычисляется

по формуле:

2 12 6

0 3

2 4

ε ε 8,85 10 7 10 0,31 Дж/м .