3.1. Электростатика
Электростатика – раздел электродинамики, в котором рас-
сматриваются свойства и взаимодействия неподвижных в инерци-
альной системе отсчета электрически заряженных тел или частиц,
обладающих электрическим зарядом.
3.1.1. Электрический заряд и его свойства
Электрический заряд
Электрические заряды бывают двух видов. Их условно назвали по-
ложительными и отрицательными. Заряды взаимодействуют между
собой: одноименные – отталкиваются, разноименные – притягиваются.
Носителями зарядов являются элементарные частицы (мель-
чайшие частицы материи).
Наименьший встречающийся в природе электрический заряд
называется элементарным зарядом e = 1,6021892*10–19 Кл. Элемен-
тарные частицы: электрон, протон и нейтрон – несут заряды –e,
+e, 0 соответственно. Из этих частиц построены атомы любого ве-
щества, поэтому электрические заряды входят в состав всех тел.
Обычно электроны и протоны имеются в равных количествах
и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае ал-
гебраическая сумма зарядов в любом элементарном объеме тела
равна нулю, вследствие чего каждый такой объем (и тело в целом)
оказываются нейтральными.
Всякий заряд образуется совокупностью элементарных заря-
дов, поэтому он является целым кратным e:
q = ± N e. (3.1)
Если физическая величина может иметь только дискретные
(т.е. разделенные конечными промежутками) значения, говорят, что
эта величина квантуется; электрический заряд квантуется.
Электрические заряды могут возникать и исчезать. Однако все-
гда возникают или исчезают одновременно два одинаковых заряда
разных знаков.
Примеры:
1. Электрон и позитрон (антиэлектрон) при встрече аннигили-
руют, т.е. превращаются в нейтральные частицы, называемые гам-
ма-фотонами. При этом исчезают заряды +e и –e.
2. В ходе процесса, называемого рождением пары, гамма-
фотон при определенных условиях превращается в пару частиц –
электрон и позитрон.
Таким образом, существует закон сохранения электриче-
ского заряда: суммарный заряд электрически изолированной сис-
темы не может изменяться.
Закон Кулона
Точечный заряд – заряженное тело, размерами которого можно
пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел.
Закон взаимодействия точечных зарядов установил экс-
периментально Шарль Огюстен Кулон в 1785 г. с помощью изобре-
тенных им крутильных весов: сила F взаимодействия двух неподвиж-
ных точечных зарядов, находящихся в вакууме, направлена вдоль пря-
мой, соединяющей заряды, пропорциональна величинам зарядов q1 и q2
и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними:
F=k(|q1||q2|)/r2 (3.2)
где коэффициент пропорциональности k=9*109 (Нм2/Кл2)
Для вектора силы, действующей со стороны первого заряда на
второй (рис. 3.1), получается соотношение:
F12=k*((q1q2)/r2)er
где er - единичный направляющий вектор
3.1.2. Напряженность электростатического поля
Исследуем поле неподвижного точечного
заряда q с помощью точечного пробного заряда
q' (рис. 3.3). В соответствии с законом Кулона
на пробный заряд будет действовать сила
2
0
1 . 4 r
q Fq e
r
Отношение /'
F q не зависит от величины заряда q', следова-
тельно, является характеристикой поля. Напряженность
E элек-
r
er q1
q2
F12
Рис. 3.1
q1
q2
F1
F2
q
F
Рис. 3.2
r
er
q
q’
F
Рис. 3.3
126
трического поля численно равна силе, действующей на единичный
точечный заряд:
.
'
F E
q
(3.6)
Направление вектора E
совпадает с направлением силы, дей-
ствующей на положительный заряд.
Единица измерения напряженности в СИ – вольт на метр,
E В/м.
Из соотношений (3.4) и (3.6) следует, что поля складываются,
не возмущая друг друга:
1
.
N
i
i
E E
(3.7)
Это следствие называется принципом суперпозиции напряжен-
ностей.
Из закона Кулона (3.5) и определения напряженности (3.6)
можно найти напряженность поля точечного заряда:
точ 2
0
1
4 .r
q E e
r
(3.8)
Поле называется однородным, если вектор
E одинаков в каж-
дой точке.
3.1.3. Энергия взаимодействия зарядов
Работа поля по перемещению заряда
Пусть точечный заряд q', нахо-
дящийся в поле неподвижного то-
чечного заряда q, переместился
вдоль некоторой траектории из по-
ложения 1 в положение 2 (рис. 3.4).
Найдем работу A12, совершаемую
при этом над зарядом q' силами поля,
в котором он находится. На заряд q'
действует сила 2
0
. 1
4 r
q q F e
r
Элементарная работа этой силы
2
0
1 dd d , 4 r
q q AF e
r
r1 q er
q’
F
1
2
dr
r2
d
Рис. 3.4
127
где d
– элементарное перемещение заряда q'. Из рис. 3.4 видно,
что d d r e r
– приращение расстояния между зарядами. Для ра-
боты на участке 1–2 получается выражение
12 2
0 01 02
'd 1 ' 1 '
44 4 , qq r qq qq A
rrr
2
1
(3.9)
откуда следует, что работа силы не зависит от пути, по которому пе-
ремещался заряд q', а зависит лишь от начального и конечного поло-
жений заряда. Работа по произвольной замкнутой траектории равна
нулю (т.е. сила Кулона потенциальна): , F qE d 'd 0
E d 0.
(3.10)
Выражение d E
называется циркуляцией вектора E
по
контуру .
Соотношение (3.10) выражает теорему о циркуляции век-
тора E :
циркуляция вектора напряженности электростатиче-
ского поля по любому замкнутому контуру равна нулю. Если цир-
куляция векторной характеристики некоторого поля равна нулю, то
говорят, что поле потенциально (условие потенциальности).
Работа потенциальных сил может быть представлена как убыль
потенциальной энергии (см. (1.90)):
A12 = Wп1 – Wп2. (3.11)
Сопоставив (3.9) и (3.11), получим для потенциальной энергии,
которой обладает заряд q' в поле заряда q, выражение
п
0
1 '
const.
4
q q W
r
На бесконечно большом расстоянии заряды не взаимодейству-
ют, следовательно потенциальная энергия при r = должна обра-
щаться в нуль:
п
0
1 '
4
q q W
r
. (3.12)
128
Выражение (3.12) можно трактовать как взаимную потенци-
альную энергию зарядов q и q', находящихся на расстоянии r.
Потенциал
Скалярная величина
п
'
W
q
(3.13)
не зависит от величины заряда q' и может быть использована для
характеристики поля заряда q. Эта величина называется потенциа-
лом поля в данной точке.
Из сказанного выше следует, что потенциал поля точечного за-
ряда q определяется выражением
точ
0
1
4
q
r
, (3.14)
где r – расстояние от заряда до данной точки поля.
Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгеб-
раической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов
в отдельности:
1
N
i
i
. (3.15)
Из определения потенциала (3.13) следует, что заряд q, нахо-
дящийся в точке поля с потенциалом , обладает потенциальной
энергией
Wп = q . (3.16)
Таким образом, работу сил поля над зарядом q можно выразить
через разность потенциалов:
A12 = Wп1 – Wп2 = q (1 – 2) = q U, (3.17)
где U – напряжение; U = 1 – 2 = –. Таким образом, работа, со-
вершаемая над зарядом силами поля, равна произведению заряда на
убыль потенциала.
Единица измерения потенциала (и напряжения) – вольт,
[] = [U] = В. Один вольт соответствует потенциалу в такой точке,
для перемещения в которую из бесконечности заряда, равного од-
129
ному кулону, нужно совершить работу в один джоуль:
1 В = 1 Дж / 1 Кл.
В физике часто пользуются единицей работы и энергии, назы-
ваемой электронвольтом (эВ) и равной работе, совершаемой сила-
ми поля над элементарным зарядом e при прохождении им разно-
сти потенциалов в один вольт:
1 эВ = 1,610–19 Кл 1 В = 1,610–19 Дж.
В быту же используется единица работы киловатт-час (кВт·ч):
1 кВтч = 3,6106 Дж.
Связь напряженности и потенциала
Электростатическое поле можно описать либо с помощью век-
торной величины
E (силовой характеристики поля), либо с помо-
щью скалярной величины (энергетической характеристики поля).
Очевидно, что эти величины должны быть как-то связаны друг
с другом.
При перемещении точечного заряда q вдоль некоторого на-
правления на отрезок d
силы поля совершат над ним работу
d d A qE qE d ,
где E – проекция вектора E
на направление перемещения.
Иначе эту работу можно выразить через убыль потенциала:
d d ( ). Aq q / d
Приравняв оба выражения для работы, получим соотношение
qE q d ( / )d , откуда следует, что
φ E . (3.18)
Таким образом, проекция вектора
E на произвольное направ-
ление равна изменению потенциала на единицу длины вдоль этого
направления.
Взяв в качестве направления координатные оси x, y, z, получим
выражения для компонент вектора
E :
φ , Ex x
φ , Ey y
φ . Ez z
(3.19)
130
Для однородного поля или для оценочных расчетов можно записать:
1 2 , φ φ U E (3.20)
откуда становится понятной единица измерения напряженности
вольт на метр.
Графическое изображение полей
Электростатическое поле можно изобразить с помощью сило-
вых линий и эквипотенциальных поверхностей.
Силовые линии – воображае-
мые линии, касательные к кото-
рым в каждой точке совпадают с
направлением вектора напряжен-
ности в этой точке поля. Они на-
чинаются на положительных и
заканчиваются на отрицательных
зарядах, не пересекаются.
Эквипотенциальная поверх-
ность (линия) – поверхность
(линия) равного потенциала.
На рис. 3.5 изображены си-
ловые (сплошные) и эквипотен-
циальные (пунктирные) линии
для положительного точечного
заряда (а), отрицательного точечного заряда (б) и диполя (в).
Диполь – система двух равных по модулю, но противоположных
по знаку зарядов, находящихся на малом расстоянии друг от друга.
3.1.4. Поток напряженности электрического поля.
Теорема Гаусса
Элементарный поток dФE
вектора
E
через поверхность площадью dS с нормалью
n (рис. 3.6) определяется по формуле
dФ d cos d d , E En S E S E S n
(3.21)
где
n – нормаль к поверхности (внешняя для замкнутых поверхно-
стей).
E E
>0
E
2<0 1 1
0 <0
а) б)
в)
2>0
Рис. 3.5
n E
dS
Рис. 3.6
а б
в
131
Для произвольной поверхности S поток вектора E
Ф d . E n
S
E S (3.22)
Напряженность поля точечного заряда определяется выраже-
нием (3.8). Линии поля в этом случае представляют собой цен-
трально-симметричную систему радиальных прямых, направлен-
ных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицате-
лен (см. рис. 3.5, а и б).
Рассмотрим воображаемую сферическую поверхность радиу-
сом r, в центре которой помещается положительный точечный за-
ряд q. В каждой точке этой поверхности 2
0 (1/ 4 ) / . En q r Следо-
вательно, поток вектора E
через поверхность
2
2
0 0
1 Ф d 4
4 . E n n
S
q q E S ES r
r
Это выражение не зависит от радиуса поверхности r. Это оз-
начает, что число линий поля на любом расстоянии от заряда од-
но и то же. Отсюда вытекает, что линии нигде, кроме заряда, не
начинаются и не заканчиваются; начавшись на положительном
заряде, они заканчиваются на отрицательном заряде (в нашем
случае на бесконечности). Источниками электростатического по-
ля могут служить только заряды, причем мощность этих источ-
ников равна q/0.
Обобщив полученный результат на случай произвольного чис-
ла зарядов любого знака, приходим к теореме Гаусса: поток
вектора напряженности электростатического поля через замкну-
тую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри
этой поверхности зарядов, деленной на 0:
0
1 Ф d . E n
S
ES q
(3.23)
Для заряда, распределенного по телу некоторым образом, ис-
пользуется понятие плотности электрического заряда.
Объемная плотность заряда (Кл/м3
) – заряд в единице объема;
поверхностная плотность заряда (Кл/м
2
) – заряд на единице пло-
щади; линейная плотность заряда (Кл/м) – заряд на единице длины:
132
d ;
dq
V
d
; d
q
S
d . d
q
(3.24)
С помощью теоремы Гаусса можно рассчитать поля заряжен-
ных тел, обладающих элементами симметрии: поле бесконечной
однородно заряженной плоскости; поле однородно заряженного
бесконечного цилиндра; поле однородно заряженной сферы или
шара.
Пример 1. Поле бесконеч-
ной равномерно заряженной
плоскости с поверхностной
плотностью заряда оказыва-
ется однородным (рис. 3.7, а):
0 2
E . (3.25)
Пример 2. Поле двух па-
раллельных бесконечных рав-
номерно заряженных плоско-
стей с поверхностными плот-
ностями заряда и – (рис. 3.7, б) можно найти, используя принцип
суперпозиции (3.7). Между плоскостями поля имеют одинаковое на-
правление, слева и справа от плоскостей – противоположные, поэто-
му, напряженность оказывается отличной от нуля только между
плоскостями:
0
E . (3.26)
Пример 3. Поле равномерно заряженной сферы радиусом R
оказывается таким же, как и у точечного заряда вне сферы
(рис. 3.7, в). Внутри поле отсутствует, так как там нет зарядов и си-
ловым линиям негде было бы оканчиваться. Пусть q – заряд сферы,
тогда:
2
0
0, если ;
1 , если . 4
r
r R
E q r R
r
(3.27)
E
E
-
-
-
-
-
-
-
- + - +
+
+
+
+
+
+
E
0 R r
а) б)
в)
Рис. 3.7
а б
в
r
133
С использованием (3.18) можно показать, что зависимость по-
тенциала от расстояния вне сферы будет такая же, как у точечного
заряда. Внутри потенциал такой же, как на поверхности, так как
внутри поля нет:
0
0
1 , если ; 4
1 , если . 4
q r R
R
q r R
r
(3.28)
3.1.5. Электростатическое поле в диэлектриках
Диэлектрики (изоляторы) – вещества, в которых заряды не мо-
гут перемещаться упорядоченно.
Атомы и молекулы состоят из положительно заряженных ядер
и движущихся вокруг них отрицательно заряженных электронов.
У диэлектриков заряды, входящие в состав молекулы, прочно свя-
заны друг с другом и могут быть разъединены только при воздейст-
вии на них очень сильного поля. Поэтому заряды, входящие в со-
став молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием
внешнего поля связанные заряды разных знаков лишь немного
смещаются в противоположные стороны; покинуть пределы моле-
кулы, в состав которой они входят, связанные заряды не могут.
Связанные заряды – это заряды, входящие в состав молекулы
и прочно соединенные друг с другом.
Внутри или на поверхности диэлектрика могут находиться за-
ряды, которые не входят в состав его молекул. Такие заряды, а так-
же заряды, расположенные за пределами диэлектрика, мы будем
называть сторонними.
Сторонние (свободные) заряды – это заряды, не входящие
в состав молекул диэлектрика.
В зависимости от взаимного расположения зарядов разных
знаков наблюдаются два типа молекул. У молекул одного типа цен-
тры положительных и отрицательных зарядов смещены друг отно-
сительно друга. Такие молекулы называются полярными (HCl,
H2O). У молекул другого типа, называемых неполярными, вследст-
вие их симметрии центры положительных и отрицательных зарядов
совпадают (H2, N2, O2).
Полярные молекулы подобны электрическому диполю.
134
Электрический диполь – система двух отличающихся только
знаком точечных зарядов +q и –q, расстояние между которыми
мало по сравнению с расстояниями до тех точек, в которых рас-
сматривается поле системы. Прямая, проходящая через оба заряда,
называется осью диполя. Ориентацию оси диполя в пространстве
можно задать с помощью вектора
, проведенного от заряда –q
к заряду +q.
Электрический момент диполя (дипольный момент)
p q . (3.29)
Если диполь находится
в однородном электрическом
поле (рис. 3.8), на его заряды
действуют равные по модулю,
противоположно направлен-
ные силы
qE и
qE . Эти
силы образуют пару, плечо ко-
торой равно sin . Модуль
момента пары сил равен про-
изведению силы на плечо:
M qE pE sin sin . (3.30)
Вращающий момент
M перпендикулярен к векторам
p и
E ;
есть угол между векторами
p и
E . Поэтому можно написать:
M p E . (3.31)
Таким образом, однородное электрическое поле оказывает на
диполь ориентирующее действие, стремясь установить его по полю.
Под действием внешнего электрического поля полярные и непо-
лярные молекулы ведут себя по-разному. На полярные молекулы по-
ле в основном оказывает ориентирующее действие, стремясь устано-
вить их дипольными моментами по полю. Величину дипольного мо-
мента полярной молекулы поле существенно не изменяет.
Ориентирующему действию поля на полярные молекулы противится
тепловое движение, которое стремится разбросать моменты молекул
равномерно по всем направлениям. В результате противоборства
этих двух тенденций устанавливается преимущественная ориентация
дипольных моментов по полю, тем большая, чем сильнее поле и чем
Рис. 3.8
135
ниже температура. Это приводит к тому, что вещество в целом при-
обретает электрический дипольный момент или, как говорят, поляри-
зуется. Такой вид поляризации называется ориентационной поляри-
зацией.
Действие поля на неполярную молекулу приводит к тому, что
центр положительных зарядов смещается в направлении поля,
а центр отрицательных зарядов – в противоположную сторону.
В результате неполярная молекула приобретает индуцированный
(наведенный) дипольный момент, точно ориентированный по полю.
Такая поляризация называется электронной. Экспериментально ус-
тановлено, что взаимное смещение центров зарядов, а следователь-
но, и дипольный момент пропорциональны напряженности поля,
т.е. силе, действующей на заряды. В этом отношении неполярная
молекула сходна с пружиной, удлинение которой пропорционально
приложенной к ней силе. По этой причине неполярные молекулы
называются упругими диполями. Соответственно полярные молеку-
лы называют жесткими диполями.
Независимо от типа молекул диэлектрики под действием
внешнего поля приобретают дипольный момент. Это явление назы-
вается поляризацией диэлектрика.
В качестве количественной характеристики поляризации есте-
ственно взять дипольный момент единицы объема диэлектрика, ко-
торый называется поляризованностью диэлектрика и обозначается
буквой
P 2 (Кл м ):
1 . V
P p V
(3.32)
Поляризованный диэлектрик становится источником электри-
ческого поля
E , которое накладывается на поле сторонних зарядов
0
E . В итоге возникает поле
0 EE E . (3.33)
Молекулы испытывают действие суммарного поля
E . Поэтому
и поляризованность диэлектрика определяется этим полем. Опыт
показывает, что независимо от типа молекул в не слишком сильных
полях поляризованность большинства изотропных диэлектриков
(кроме сегнетоэлектриков) пропорциональна напряженности поля
в этой точке:
136
0 P E ε , (3.34)
где – не зависящая от
E характеристика диэлектрика, называе-
мая диэлектрической восприимчивостью.
Электрическая постоянная 0 введена в формулу (3.34) для то-
го, чтобы сделать диэлектрическую восприимчивость безразмерной
величиной.
Если нормальная составляющая напряженности поля
E для
данной поверхности отлична от нуля, то под действием поля заряды
одного знака уходят внутрь, а заряды другого знака выходят нару-
жу. В результате в тонком поверхностном слое диэлектрика возни-
кает избыток связанных зарядов одного знака.
На поверхности тела могут располагаться не только связанные,
но и сторонние заряды. Чтобы различить эти два случая, будем по-
верхностную плотность сторонних зарядов обозначать , а поверх-
ностную плотность связанных зарядов – символом ', аналогично
объемную плотность сторонних зарядов – символом , а объемную
плотность связанных зарядов – символом '.
Связь поверхностной плотности связанных зарядов с поляризо-
ванностью и напряженностью такова:
σ ε0 , P E n n (3.35)
где Pn – проекция поляризованности на внешнюю нормаль к по-
верхности; En – проекция напряженности поля внутри диэлектрика
на внешнюю нормаль.
Связанные заряды, как и любые другие электрические заряды,
являются источниками электрического поля, на них начинаются
или оканчиваются линии напряженности E.
Для расчета полей в диэлектриках вместо напряженности
E
более удобной оказывается величина
D , силовые линии которой
начинаются или оканчиваются только на сторонних зарядах:
0 D EP . (3.36)
Эта величина называется электрическим смещением поля (дру-
гое название: электрическая индукция). Связанные заряды не явля-
ются источниками поля вектора D.
Из (3.34) и (3.36) получаем:
D EE ε0 0 1 ε ε , (3.37)
137
где безразмерная величина
ε 1 (3.38)
называется диэлектрической проницаемостью вещества. Ее опре-
деляют экспериментально. В вакууме = 1, в воздухе 1, в воде
= 81. Диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько
раз ослабляется поле за счет диэлектрика.
Для электрического смещения D
также можно сформулиро-
вать теорему Гаусса: поток электрического смещения через замк-
нутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних заря-
дов, заключенных внутри этой поверхности:
Ф d . D n
S
DS q (3.39)
Векторы E
и D
на границе раздела двух однородных и изо-
тропных диэлектрических сред 1 и 2 с диэлектрическими прони-
цаемостями соответственно 1 и 2 должны удовлетворять опреде-
ленным условиям, которые могут быть получены из теоремы Гаус-
са для D
и теоремы о циркуляции E.
Поскольку среды изотропны,
из соображений симметрии следует, что векторы E1
и E2
лежат
в одной плоскости (аналогично для D1
и 2 D ).
Линии вектора D
могут начинаться или оканчиваться только на
сторонних зарядах. Поэтому, если на границе раздела таких зарядов
нет, линии D
проходят через границу, не прерываясь (рис. 3.9), при-
чем их нормальные составляющие одинаковы в обоих диэлектриках
(в непосредственной близости к границе раздела сред):
D1n = D2n. (3.40)
Из (3.37) следует, что нормальные
составляющие напряженности связа-
ны соотношением
E1n/E2n = 2/1. (3.41)
Для касательных составляющих
получаются соотношения:
E1 = E2, (3.42)
D1/D2 = 1/2. (3.43)
Соотношения (3.40)–(3.43) определяют условия, которым
удовлетворяют векторы E
и D
на границе раздела двух диэлек-
1
D1
D2
1
2
D
D Dn
Рис. 3.9
n
138
триков. Из них вытекает, что тангенциальная составляющая вектора
E
и нормальная составляющая вектора D
при переходе через гра-
ницу раздела изменяются непрерывно. Нормальная же составляю-
щая вектора E
и тангенциальная составляющая вектора D
при пе-
реходе через границу раздела изменяются скачком, т.е. претерпе-
вают разрыв.
По рис. 3.9 видно, что tg = D/Dn. Поэтому
1 1 11 1
2 22 2 2
tg / . tg /
n
n
DD D
DD D
(3.44)
Это отношение выражает закон преломления линий электриче-
ского смещения (и линий напряженности поля).
3.1.6. Проводники в электростатическом поле
Условия равновесия зарядов на проводнике
Носители заряда в проводниках приходят в движение под дей-
ствием сколь угодно малой силы. Поэтому для равновесия зарядов
на проводнике необходимо выполнение двух условий (рис. 3.10):
1) напряженность поля внутри проводника
должна быть равна нулю:
внутр E 0; (3.45)
2) напряженность поля на поверхности про-
водника должна в каждой точке быть направлена
по нормали к поверхности:
пов . E E n (3.46)
Первое условие означает, что потенциал внутри проводника дол-
жен быть постоянным. Из второго условия следует, что в случае равно-
весия зарядов поверхность проводника является эквипотенциальной.
Распределение зарядов на проводнике
Сообщенный проводнику заряд распределяется по поверхности
проводника (иначе внутри поле было бы отлично от нуля).
В случае полого проводника избыточный заряд также распре-
деляется по внешней поверхности. Линиям поля, начавшимся
(окончившимся) на заряде, находящемся на поверхности полости,
не на чем было бы окончиться (начаться) – в теле проводника ли-
ний поля нет, а внутри полости заряды отсутствуют.
Рис. 3.10
139
С помощью теоремы Гаусса для вектора
D можно найти поле
у поверхности заряженного проводника:
пов D , (3.47)
пов
0
E ,
(3.48)
где – диэлектрическая проницаемость среды, окружающей про-
водник.
На больших расстояниях от заря-
женного проводника любой формы экви-
потенциальные поверхности имеют ха-
рактерную для поля точечного заряда
форму сферы (рис. 3.11). По мере при-
ближения к проводнику эквипотенциаль-
ные поверхности становятся все более
сходными с поверхностью проводника,
которая является эквипотенциальной.
Вблизи выступов эквипотенциальные по-
верхности располагаются гуще, а значит, и напряженность поля
здесь больше. Отсюда следует, что плотность заряда на выступах
особенно велика. К такому же выводу можно прийти, учтя, что
вследствие взаимного отталкивания заряды стремятся располо-
житься как можно дальше друг от друга.
Плотность заряда растет с увеличением положительной кри-
визны (выпуклости) поверхности и убывает с увеличением отрица-
тельной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плотность
заряда на остриях.
При внесении незаряженного проводника в электрическое поле
носители заряда приходят в движение: положительные в направ-
лении вектора , E
отрицательные – в противоположную сторону.
В результате на концах проводника
возникают заряды противоположных
знаков, называемые индуцированны-
ми зарядами (рис. 3.12). Поле этих
зарядов направлено противоположно
внешнему полю. Перераспределение
носителей заряда происходит до тех
пор, пока не окажутся выполненны-
ми условия (3.45) и (3.46), т.е. пока
Рис. 3.11
Рис. 3.12
140
напряженность поля внутри проводника не станет равной нулю, а
линии напряженности вне проводника – нормальными к его по-
верхности.
Таким образом, незаряженный проводник, внесенный в элек-
трическое поле, разрывает часть линий напряженности – они окан-
чиваются на отрицательных индуцированных зарядах и вновь на-
чинаются на положительных.
Индуцированные заряды располагаются на внешней поверхно-
сти проводника. Если внутри проводника имеется полость, то при
равновесном распределении индуцированных зарядов поле внутри
нее равно нулю. На этом основывается электростатическая защита.
Когда какой-то прибор хотят защитить от воздействия внешних по-
лей, его окружают проводящим экраном. Внешнее поле компенси-
руется внутри экрана возникающими на его поверхности индуци-
рованными зарядами.
Электроемкость
Сообщим некоторому уединенному проводнику заряд q. Этот
заряд распределится по поверхности проводника так, чтобы выпол-
нялись условия (3.45) и (3.46). Если сообщить проводнику еще та-
кую порцию заряда q, она распределится по поверхности точно так
же, как первая.
Это означает, что различные по величине заряды распределя-
ются по поверхности уединенного проводника подобным образом:
отношение плотностей заряда в двух произвольно взятых точках
поверхности при любой величине заряда будет одним и тем же. От-
сюда следует, что потенциал уединенного проводника пропорцио-
нален находящемуся на нем заряду: q = C .
Коэффициент пропорциональности C называется электроемко-
стью уединенного проводника,
С = q / . (3.49)
Пример. С учетом (3.28) можно найти емкость шара радиусом
R, погруженного в безграничный однородный и изотропный ди-
электрик с проницаемостью :
шара 0 C R. 4 (3.50)
141
За единицу электроемкости принимается емкость такого про-
водника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему
заряда в 1 Кл. Эта единица называется фарадом, [C] = Ф. Емкостью
в 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9109 м, т.е. радиусом,
в 1500 раз большим радиуса Земли.
Емкость уединенных проводников невелика. Например, шар таких
размеров, как Земля, обладает емкостью всего лишь 700 мкФ. Вместе
с тем бывают нужны устройства, которые при небольшом потенциале
накапливали бы на себе большие заряды. Такие устройства называются
конденсаторами. Это два проводника (обкладки), помещенные близко
друг к другу. Для того, чтобы внешние тела не влияли на емкость кон-
денсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их отно-
сительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливаемыми на них
зарядами, было сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию
удовлетворяют две пластинки, расположенные близко друг к другу, два
коаксиальных цилиндра и две концентрические сферы. Соответственно
бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.
Поскольку поле заключено внутри конденсатора, линии элек-
трического смещения начинаются на одной обкладке и заканчива-
ются на другой. Следовательно, сторонние заряды, сообщаемые об-
кладкам, имеют одинаковую величину и различны по знаку.
Емкость конденсатора
C q qU / / 1 2 , (3.51)
где U – напряжение между обкладками.
Пример. Пусть площадь обкладки плоского конденсатора равна S,
а расстояние между обкладками d << S. Зазор между обкладками
предполагается заполненным диэлектриком с проницаемостью .
В этом случае напряженность поля в диэлектрике (по формуле (3.26))
E q S Ud / / /. 0 0
Отсюда емкость плоского конденсатора
плоск.конд 0 . S C
d (3.52)
Располагая некоторым набором конденсаторов, можно полу-
чить много различных значений емкости, если применить соедине-
ние конденсаторов в батареи.
142
При параллельном соединении (рис. 3.13) одна из обкладок ка-
ждого конденсатора имеет потенциал 1, а другая 2. Поэтому на
соединенных вместе обкладках накапливается суммарный заряд:
12 12 ( )( ) . kk k qq C C
Рис. 3.13
Разделив этот заряд на приложенное к батарее напряжение
1 2 U , найдем емкость батареи:
1 2 ... . C C CC C k N (3.53)
При последовательном соединении (рис. 3.14) пер-
вая обкладка каждого следующего конденсатора обра-
зует со второй обкладкой предыдущего единый про-
водник, на котором при подключении напряжения воз-
никают индуцированные заряды –q и +q такой же
величины, как заряд +q на первой обкладке первого
конденсатора и заряд –q на второй обкладке последнего
конденсатора. Поэтому напряжение на каждом из кон-
денсаторов Uk = q/Ck, а напряжение на всей батарее
1 . k
k k
q UU q C C
Отношение U к q дает величину, обратную емко-
сти батареи C:
1 2
1 111 1 ... . C C CC C k N
(3.54)
3.1.7. Энергия электрического поля
Ранее было показано, что кулоновские силы потенциальны.
Можно показать, что потенциальная энергия взаимодействия N то-
чечных зарядов определяется формулой
п
1
, 1
2
N
i i
i
W q
(3.55)
Рис. 3.14
143
где i – потенциал точки пространства, в которой находится заряд qi.
Заряд q, находящийся на некотором проводнике, можно рас-
сматривать как систему точечных зарядов qi. Поверхность провод-
ника является эквипотенциальной. Поэтому потенциал точек, в ко-
торых находятся точечные заряды qi, одинаков и равен потенциалу
проводника. Энергия проводника
п
1 1
111
222 .
N N
i i
i i
W q qq
С использованием определения емкости (3.49) энергия уеди-
ненного проводника
2 2
п 2 2 . 2
q qC W
C
(3.56)
Энергия конденсатора как системы зарядов, расположенных на
обкладках,
п 1 2 12 . 1 11
2 22 W q q q qU
С использованием определения емкости (3.51) энергия конденсатора
2 2
п . 22 2
qU q CU W
C (3.57)
Выразим энергию заряженного плоского конденсатора через
характеристики поля в зазоре между обкладками. Подстановка
(3.52) в (3.57) приводит к соотношению
2 2 2 2
00 0
п 22 2 2
CU U SU E W S d V.
d d
В плоском конденсаторе поле однородно. Поэтому энергия
распределена по объему конденсатора равномерно. Следовательно,
в единице объема поля содержится энергия
2
п 0 . 2
W E
V
w
С учетом (3.37) полученное выражение можно представить в виде
2 2
0
0
. 2 22
E ED D
w (3.58)
Величина w называется объемной плотностью энергии элек-
трического поля.
144
Соотношение (3.58) получено для случая, когда поле однород-
но. Однако оно будет справедливо для любого электрического поля.
Зная плотность энергии в каждой точке, можно найти энергию
поля, заключенную в любом объеме V. Для этого нужно вычислить
интеграл:
2
0
п 2
d d .
V V
E WV V w (3.59)
Примеры решения задач
№ 1. Два одинаково заряженных маленьких шарика массой по 5 г,
подвешенных на шелковых нитях длиной по 1 м, отталкиваясь друг от
друга, разошлись на 4 см. Найдите величину заряда каждого шарика.
Д а н о: m = 5·10–3 кг, = 1 м, r = 0,04 м.
Р е ш е н и е. Условие равновесия ша-
риков
F T mg 0.
В проекциях:
–
–
на ось : sin α 0
на ось : cosα 0
yFT
x T mg
sin α
cosα
T F
T mg
tgα
F
mg F = mg·tgα.
Подставим силу Кулона для вакуума
2
2
q F k
r в полученное выражение. Получим:
2
2 tgα q k mg
r
2
2 r mg tgα
q k
t . mg gα
q r k
По рисунку видно, что
2
2 22 1
2 2
4 . r
a r
Тогда
22 22
2 0,04 tgα 0,02. 2 24 4 4 0,0016
rr r
a r r
Отсюда величина заряда каждого шарика
3 12
9
tgα 5 10 10 0,02 10 0,04 0,04 9 10 9
mg q r k
145
6
2 8 10 4 10 1,33 10 Кл 13,3 нКл. 3
№ 2. Электрон, находящийся в однородном электрическом по-
ле, получил ускорение 1012
м/с
2
. Найдите: 1) напряженность элек-
тростатического поля; 2) скорость, которую получит электрон за
10–6 с своего движения, если начальная скорость его равна нулю;
3) работу сил электростатического поля за это время; 4) разность
потенциалов, пройденную при этом электроном.
Д а н о: a = 1012
м/с
2
; t = 10–6 с; me = 9,1·10–31 кг; qe = 1,6·10–19 Кл.
Р е ш е н и е. По второму за-
кону Ньютона
me a = F.
Сила Кулона F = qeE. Тогда
31 12
19
9,1 10 10 9,1 5,69 1,6 10 1,6
e
e
m a E
q
В/м.
Скорость электрона v = at = 1012·10–6 = 106 м/с.
Работа электрического поля равна изменению кинетической
энергии:
22 2 31 12
0 9,1 10 10 19 4,55 10 Дж. 222 2
mmm ee e А
vvv
Выразим работу электрического поля через разность потенциалов:
А = qe(φ1 – φ2).
Отсюда
19
1 2 19
4,55 10 ( 2,84 В. 1,6 10 e
А
q
№ 3. Поле создано двумя равномерно заряженными концен-
трическими сферами радиусами R1 = 5 см и R2 = 8 см. Сферы имеют
заряды: q1 = 2 нКл и q2 = – 1 нКл. Определите напряженность элек-
трического поля в точках, лежащих от центра сфер на расстояниях
r1 = 3 см, r2 = 6 см, r3 = 10 см.
Р е ш е н и е. Используем теорему Гаусса:
охв
1
0
Ф d ,
N
i
i
E n
S
q
E S
v
146
где охв
i q – заряды, охваченные гауссо-
вой поверхностью. Выберем гауссову
поверхность (воображаемую) в виде
сферы радиусом r3, описанной вокруг
заряженных сфер. Вектор напряжен-
ности 3
Е в каждой точке гауссовой
поверхности перпендикулярен ей и
3 const
Е . Поток вектора 3
Е поля,
созданного обеими заряженными сфе-
рами,
2 Ф 3 3 33 d d4π . E
S S
ES E S E r
В правой части теоремы Гаусса стоит алгебраическая сумма
всех зарядов, находящихся внутри воображаемой поверхности (ох-
ватываемых этой поверхностью), т.е.
1 2
0
Ф . ε E
q q
Следовательно, 2 1 2
3 3
0
4π ;отсюда
ε
q q E r
9
1 2
3 2 12 2
0 3
(2 1) 10 899 В/м. 4πε 4 3,14 8,85 10 10
q q E
r
Рассуждая аналогично, для сферической гауссовой поверхно-
сти радиусом r2 получаем:
2 1
2 2
0
4π
ε
q E r
9
1
2 2 12 4
0 2
2 10 49,95 кВ/м
4πε 4 3,14 8,85 10 36 10 . q E
r
Внутри гауссовой поверхности радиусом r1 заряда нет, поток
Ф 0, E
следовательно, Е1 = 0.
№ 4. На пластинах плоского конденсатора равномерно распре-
делен заряд с поверхностной плотностью 0,2 мкКл/м
2
. Расстояние
между пластинами равно 1 мм. Насколько изменится разность по-
147
тенциалов на его обкладках при увеличении расстояния между
пластинами до 3 мм?
Дано: σ = 0,2 мкКл/м
2
, d1 = 1 мм, d2 = 3 мм.
Решение. Электроемкость конденсатора по
определению
φ
. Δ
q C Электроемкость плоского
конденсатора 0 ε ε . S C
d Приравнивая Δφ
q к
0 ε ε , S
d получим
0
Δφ
ε ε . qd
S
Поверхностная плотность σ q
S
q S σ . Следовательно, по-
лучаем:
0
σ Δφ , ε ε
d 2 1
2 1 21
000
σ σ σ Δφ Δφ ( ).
εε εε εε
d d d d Если между
пластинами конденсатора воздух, то = 1. Окончательно получим
следующее изменение разности потенциалов:
6
3
2 1 21 12
0
σ 0,2 10 Δφ Δφ ( ) (3 1) 10 45 В. ε 8,85 10
d d
№ 5. Конденсаторы соединены в батарею
так, как показано на рисунке. Конденсаторы
имеют следующие электроемкости: C1 = 0,2 мкФ,
С2 = 0,1 мкФ, С3 = 0,3 мкФ, С4 = 0,4 мкФ. Опре-
делите электроемкость С батареи конденсато-
ров.
Р е ш е н и е. Пары конденсаторов C1 и С2, С3 и С4 соединены па-
раллельно, поэтому: C1,2 = C1 + С2 = 0,3 мкФ, С3,4 = С3 + С4 = 0,7 мкФ.
Исходная цепь преобразуется к цепи , где конденса-
торы соединены последовательно. Отсюда
1,2 3,4
11 1
СС С
12
1,2 3,4
6
1,2 3,4
0,3 0,7 10 0,21 мкФ. (0,3 0,7) 10
С С
С
С С
№ 6. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциалов
U = 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлектрик –
стекло (ε = 7). Определите объемную плотность энергии поля кон-
денсатора.
148
Р е ш е н и е. Энергия конденсатора
2
2 CU W . Электроемкость
плоского конденсатора 0ε . ε S C
d С учетом того, что объем конден-
сатора V = Sd, получим:
00 0
2 2
εε εε εε . S Sd V C
dd d
Тогда
2
0
2
ε ε . 2
VU W
d
Объемная плотность энергии поля конденсатора вычисляется
по формуле:
2 12 6
0 3
2 4
ε ε 8,85 10 7 10 0,31 Дж/м .