ЛенЭлектроЩит

Производство электрощитового оборудования

Меню

Кабель и провод
Арматура кабельная
Низковольтное оборудование
Светильники
Лампы
Розетки, выключатели
Электрощитовое оборудование
ГРЩ
ВРУ
АВР
ЩУН
Я5000
Комплектующие
Распределительные щиты Prisma
Автоматический выключатель.
Шкафы FORT на 4000А
Автоматические выключатели Tmax
Выключатели нагрузки
Контакторы
Шина
Реле температуры на микроконтроллерах
Блок АВР
АВДТ ABB DS800 на 125 А
Статьи
Энергия
Нетрадиционная энергетика
Традиционная энергия
Электротехника
Трансформаторы
Электродвигатели
Электропривод
Электростанции
Техническая информация
Энергоснабжение потребителей
Охрана труда
Трансформаторы
Система автоматического запуска генератора
Двигатели
Пускатели
Учет
Испытания
Электрическая нагрузка. Виды электрических нагрузок.
Основные этапы производства электромонтажных работ
Организация и производство электромонтажных работ
Обучение
Физика
Электротехника

3.2. Постоянный электрический ток

3.2.1. Характеристики и условия существования

постоянного тока

Электрическим током называется упорядоченное движение

электрических зарядов. Носителями тока могут быть электроны,

а также положительные и отрицательные ионы, т.е. атомы или мо-

лекулы, потерявшие либо присоединившие к себе один или не-

сколько электронов. За положительное направление тока принято

направление движения положительных зарядов.

Носители тока находятся в беспорядочном тепловом движении

со скоростью v ~ 106 м/с. Через воображаемую площадку перено-

сится в обоих направлениях одинаковый заряд, и ток отсутствует.

При наличии электрического поля на хаотическое движение накла-

дывается упорядоченное движение носителей – ток (подобно тому,

как в газе на хаотическое тепловое движение молекул накладывает-

ся их упорядоченное движение – ветер).

Отношение заряда, проходящего через некоторую воображае-

мую поверхность (например, через поперечное сечение проводни-

ка), ко времени прохождения является скалярной величиной и на-

зывается силой тока:

d

I dq .

t

 (3.60)

149

Ток, не изменяющийся со временем, называется постоянным.

Единицей силы тока является ампер, [I] = А.

Электрический ток может быть распределен по сечению, через

которое он течет, неравномерно. В этом случае более детально ток

можно охарактеризовать с помощью векторной величины , j

называемой плотностью тока. Чтобы определить плотность тока в неко-

торой точке пространства, нужно взять в этой точке элементарную

площадку dS , перпендикулярную к направлению упорядоченного

движения носителей тока. Разделив силу тока dI, текущего через эту

площадку, на dS ,  получим модуль плотности тока (А/м2):

d .

d

j I

S

 (3.61)

За направление вектора

j

принимается направление скорости

u упорядоченного движения положительных носителей тока.

Поле вектора

j

можно изобразить с помощью линий тока, ко-

торые строятся так же, как и линии любого векторного поля. Линии

постоянного тока замкнуты.

Если задано поле вектора плотности тока, можно вычислить силу

тока, текущего через любую воображаемую поверхность S. Для этого

нужно разбить S на элементарные участки dS, через которые текут токи:

d d d cos d , n I j S j S j S    

где n j – проекция j

на нормаль к dS.

Просуммировав токи через все площадки, получим силу тока,

текущего через поверхность S:

d . n

S

I   j S (3.62)

Следовательно, сила тока равна потоку вектора плотности тока

через заданную поверхность (рис. 3.15).

Пример. В металлах носителями тока яв-

ляются электроны. Зная концентрацию n (чис-

ло свободных электронов в единице объема) и

скорость упорядоченного движения носителей

u, можно получить выражение для силы тока:

I  neuS. (3.63)

I S

u

Рис. 3.15

150

Скорость упорядоченного движения носителей тока u невели-

ка. Например, у одного из лучших проводников – меди – при пре-

дельно допустимой техническими нормами плотности тока она со-

ставляет примерно 1 мм/с.

Для возникновения и поддержания в проводниках тока прово-

димости на заряженные частицы должны действовать силы, обес-

печивающие их упорядоченное перемещение в течение конечного

промежутка времени.

Кулоновские силы электростатического взаимодействия заря-

дов приводят к такому их распределению в проводнике, при кото-

ром напряженность электрического поля внутри проводника равна

нулю, а потенциалы всех точек проводника одинаковы. Поэтому

электростатическое поле кулоновских сил не может обеспечить по-

стоянного электрического тока в проводнике.

Для того чтобы в проводнике мог существовать постоянный

ток проводимости, необходимо выполнение следующих условий:

а) напряженность электрического поля в проводнике должна

быть отлична от нуля и не должна изменяться с течением времени;

б) цепь постоянного тока проводимости должна быть замкну-

той;

в) на свободные электрические заряды помимо кулоновских

сил должны действовать неэлектростатические силы, называемые

сторонними силами. Сторонние силы могут быть созданы источни-

ками тока.

За счет сторонних сил электрические заряды движутся внутри

источника тока в направлении, противоположном действию сил

электростатического поля. Благодаря этому на концах внешней це-

пи поддерживается разность потенциалов и в цепи идет постоянный

электрический ток. Работа, которая необходима для обеспечения

упорядоченного движения электрических зарядов в проводнике при

прохождении по нему постоянного электрического тока, соверша-

ется за счет энергии источника тока.

Работа по перемещению заряда по проводнику в процессе про-

текания по нему электрического тока совершается кулоновскими

и сторонними силами, т.е. полная работа A  Aкул  Aст .

Полная работа, которая совершается при перемещении еди-

ничного положительного заряда на участке 1–2 электрической це-

пи, по которой протекает постоянный ток (рис. 3.16),

151

кул ст

A12 / q  A12 / q  A12 / q.

При этом 12

кул

1 2 A / q     (см. формулу (3.17)).

Электродвижущей силой õ12 (ЭДС), дейст-

вующей на участке 1–2 цепи, называется физи-

ческая величина, численно равная работе, кото-

рую совершают сторонние силы при перемеще-

нии на участке 1–2 единичного положительного

заряда (от минуса к плюсу внутри источника тока):

õ12

12

2

ст

ст 2

1 ст

1

,

d

d

F

A

E

q q

   

 

  

 (3.64)

где d



 – элементарное перемещение заряда; Fст

– сторонние силы;

ст E

– напряженность поля сторонних сил, действующих внутри ис-

точника тока.

На рис. 3.16 также показано схематичное изображение источ-

ника тока; его характеристикой является ЭДС.

Напряжением U12 на участке цепи 1–2 называется физическая

величина, численно равная полной работе, которая совершается ку-

лоновскими и сторонними силами при перемещении вдоль участка

цепи единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2:

12

12 1 2 U A ( )

q

      õ12. (3.65)

Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, назы-

вается однородным, иначе – неоднородным.

3.2.2. Закон Ома

Экспериментально установлено, что сила тока на участке цепи

пропорциональна напряжению:

I 1 U.

R

 (3.66)

Коэффициент пропорциональности 1/R, где R  электрическое

сопротивление проводника, [R] = Ом.

Выражение (3.66) определяет закон Ома (для произвольного

участка цепи).

Рис. 3.16

152

Сопротивление проводника зависит от материала проводника,

его геометрической формы, размеров и температуры. Для однород-

ного цилиндрического проводника длиной  и площадью попереч-

ного сечения S сопротивление можно представить в виде

R   

S

, (3.67)

где   удельное электрическое сопротивление,

[] = Омм.

Величина, обратная удельному сопротивлению, называется

удельной электропроводностью (проводимостью) проводника:

 = 1/. На рис. 3.17 показано схематичное изображение электриче-

ского сопротивления в цепи.

Следствия:

1. Закон Ома для однородного участка цепи:

I U 1 2 .

R R

  

  (3.68)

2. Закон Ома для замкнутой электрической цепи (рис. 3.18):

I = ,

R  r

õ (3.69)

где r – внутреннее сопротивление источника тока.

Напряжение во внешней цепи (см. рис. 3.18)

AB U  õ – Ir. (3.70)

Если полная электрическая цепь содержит несколько последова-

тельно соединенных источников тока, то ЭДС, действующая в цепи,

равна алгебраической сумме ЭДС отдельных источников тока:

õ

1

N

i

  õi. (3.71)

3. Закон Ома в дифференциальной (локальной) форме для каж-

дой точки проводника:

j  1 E  E.

  

(3.72)

3.2.3. Правила Кирхгофа

В основе расчета разветвленных электрических цепей лежат

два правила Кирхгофа, которые позволяют рассчитать токи на уча-

стках цепи. Разветвленная цепь – цепь, содержащая узлы. Узлами

R

1 I 2

Рис. 3.17

Рис. 3.18

õ, r

153

называются точки, в которых сходятся более чем два проводника.

Участок цепи – цепь между двумя узлами. Контур – любая замкну-

тая цепь в разветвленной цепи. Перед применением правил Кирх-

гофа на участках цепи произвольным образом указываются направ-

ления токов.

Первое правило Кирхгофа (правило узлов): алгебраическая

сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

Ik  0. (3.73)

При этом току, текущему к узлу, приписывается один знак,

а току, текущему от узла, – другой знак. Уравнение (3.73) можно на-

писать для всех N узлов. Однако независимыми будут только (N – 1)

уравнение.

Второе правило Кирхгофа (правило контуров): для произ-

вольного, мысленно выделенного в разветвленной цепи, замкнутого

контура алгебраическая сумма произведений токов на участках

цепи на их сопротивление равна алгебраической сумме ЭДС источ-

ников тока в этом же контуре:

. k k k I R õ (3.74)

При этом предварительно выбирается положительное направ-

ление обхода по контуру (например, по часовой стрелке), токам

и ЭДС приписываются знаки в соответствии с выбранным направ-

лением обхода. Если для какого-либо тока будет получено отрица-

тельное значение, это будет означать, что в действительности он

течет в противоположном направлении.

Уравнение (3.74) можно составить для всех замкнутых конту-

ров, которые можно выделить в данной цепи. Однако независимы-

ми будут уравнения только для тех контуров, которые нельзя полу-

чить наложением на них других контуров.

Число независимых уравнений, составленных по первому

и второму правилам Кирхгофа, равно количеству токов, текущих на

разных участках цепи. Поэтому если заданы ЭДС и сопротивления,

то могут быть вычислены все токи.

3.2.4. Закон Джоуля – Ленца

Проводник при прохождении по нему тока нагревается.

Дж. Джоуль и независимо от него Э.Х. Ленц установили эксперимен-

154

тально, что количество выделившейся в проводнике теплоты пропор-

ционально его сопротивлению, квадрату силы тока и времени:

Q  I 2R t.

Если сила тока изменяется со временем, то

2

0

d .

t

Q   I R t (3.75)

Тепловая мощность P – количество теплоты, выделяющееся

в проводнике в единицу времени:

d 2 .

d

P Q I R

t

  (3.76)

С помощью закона Ома последнее соотношение можно пере-

писать:

2

P I 2R IU U .

R

  

Последнее соотношение верно, если считать, что вся энергия

преобразуется в тепло.

Мощность всей цепи (для замкнутой цепи вместо U нужно

взять õ):

цепи P  I õ . (3.77)

Удельная мощность (на единицу объема)

уд P P I U j E j E.

S S

    

 

 

Это – закон Джоуля – Ленца в дифференциальной форме.

С помощью (3.72) его можно переписать в другом виде:

2 2

уд P  j E   j  E . (3.78)

Примеры решения задач

№ 1. Какова величина заряда, прошедшего

через поперечное сечение проводника за время

от t1 = 0 с до t2 = 8 с, если сила тока изменяется

со временем так, как показано на рисунке?

Р е ш е н и е. По определению

d

d

I q

t

  dq  Idt 

2

1

( )d .

t

t

q   I t t

155

Геометрический смысл интеграла ‒ площадь фигуры, лежащей

под графиком интегрируемой функции, в нашем случае I(t). График

функции I(t) и ось t образуют треугольник, площадь которого

1 2 1 .

2

q  I t Поскольку I1 = 4 А, t2 = 8 с, то

1 4 8 16 Кл.

2

q    

№ 2. Медная и железная проволоки одинаковой длины вклю-

чены параллельно в цепь, причем железная проволока имеет вдвое

больший диаметр. Сила тока в медной проволоке 60 мА. Какова си-

ла тока в железной проволоке?

Д а н о : dж = 2dм; ρм = 17 нОм·м,

ρж = 98 нОм·м, Iм = 60 мА.

Р е ш е н и е . При параллельном

соединении проводников напряжения

на них одинаковы: Uм = Uж. По закону

Ома для участка цепи:

м ж

м ж

м ж

I  U ; I  U

R R

 Uм = IмRм; Uж = IжRж,

тогда

IмRм = IжRж  м

ж м

ж

I I R .

R

Находим площади сечения проволок:

2

м

м

π

4

S  d ;

ж

π

4

S  d .

Подставляем их в формулы для сопротивления проволок:

м м

м 2

м м

R ρ 4ρ ;

S d

    ж ж

ж 2

ж ж

R ρ 4ρ .

S d

   

Окончательно получаем:

2 2 2

м м ж м ж м м м

ж м м 2 м 2 м 2 м

ж м ж ж м ж м ж

4ρ ρ ρ (2 ) ρ 4

4ρ ρ ρ ρ

I I R I d I d I d I

R d d d

       

3 9

3

9

60 10 17 10 4 41,6 10 А.

98 10

 

   

  

№ 3. Замкнутая цепь включает в себя элемент, три резистора и

амперметр.

156

Напряжение на зажимах элемента в

замкнутой цепи U = 2,1 В, сопротивления ре-

зисторов R1 = 5 Ом, R2 = 6 Ом и R3 = 3 Ом.

Какой ток I показывает амперметр?

Р е ш е н и е. Амперметр будет показы-

вать ток через резистор R3, который включен параллельно резисто-

ру R2. Сначала найдем их общее сопротивление:

2,3 2 3

1  1  1

R R R

 2 3

2,3

2 3

6 3 18 2 Ом.

6 3 9

R R R

R R

 

   

 

Теперь цепь можно представить в следующем виде:

Далее найдем общее сопротивление цепи и общий ток:

R = R1 + R2,3 = 2 + 5 = 7 Ом  2,1 0,3 A

7

I U .

R

  

Учитывая, что I = I1 = I2,3, получим напряжение на резисторе R2,3:

U2,3 = I R2,3 = 0,3·2 = 0,6 В.

Для напряжений на R2 и R3 (см. исходную цепь) можем напи-

сать: U2,3 = U2 = U3. Тогда амперметр показывает ток 3

3

3

I U

R

 

0,6 0, 2 A.

3

 

№ 4. Источник тока питает 100 ламп, рассчитанных на напря-

жение 220 В и соединенных параллельно. Сопротивление каждой

лампы 1,2 кОм, сопротивление подводящих проводов 4 Ом, внут-

реннее сопротивление источника 0,8 Ом. Найдите ЭДС источника.

Д а н о: Uл = 220 В, R1 = … = R100 = 1,2 кОм, Rп = 4 Ом, r = 0,8 Ом.

Р е ш е н и е. Поскольку лампы имеют

одинаковое сопротивление, находим их общее

сопротивление:

л 1 100 1

1 1 .... 1 100

R R R R

    

 1

л

1200 12 Ом

100 100

R  R   .

157

Тогда можно найти ток, текущий через лампы (он же общий ток):

л

л

220 55 А.

12 3

I U

R

  

По закону Ома для полной цепи:

л п

I

R R r

 

õ  л п

( ) 55 (12 4 0,8) 308 В.

3

õ  I R  R  r    

№ 5. Источники тока с электродвижущими си-

лами 1 õ и 2 õ включены в цепь, как показано на пер-

вом рисунке. Определите силы токов, текущих

в сопротивлениях R2 и R3, если 1 õ = 10 В и 2 õ = 4 В,

R1 = 2 Ом и R2 = R3 = 4 Ом. Сопротивлениями источников тока пре-

небречь.

Р е ш е н и е. На втором рисунке показаны произвольно вы-

бранные направления токов и направления обхода контуров (по ча-

совой стрелке).

Для узла А напишем первое правило Кирхгофа:

2 1 3 I – I – I  0.

Для контуров ACDBA и ABEFA

применим второе правило Кирхгофа,

учитывая направления токов и обхода:

1 1 2 2

2 2 3

1

3

2

2

;

.

I R I R

I R I R

  

  

õ õ

õ

В итоге получаем систему из трех

уравнений с тремя неизвестными:

2 1 3

1 1 2 2 1 2

2 2 3 3 2

0;

;

.

I I I

I R I R

I R I R

   

   

   

õ õ

õ

Решаем данную систему методом подстановки. Для упрощения

выкладок подставим в нее значения известных величин:

2 1 3

1 2

2 3

0;

2 4 10 4;

4 4 4.

I I I

I I

I I

   

   

   

2 1 3

1 2

2 3

0;

2 3;

1.

I I I

I I

I I

   

   

   

õ1

õ2

158

Из второго и третьего уравнений выразим I1 и I3 через I2:

I1 = 3 – 2I2 ; I3 = ‒1 – I2,

и подставим в первое уравнение:

I2 – 3 + 2I2 + 1 + I2 = 0 или 4I2 = 2.

Отсюда находим силы токов:

I2 = 0,5 А; I1 = 3 – 2·0,5 = 2 А; I3 = –1 – 0,5 = –1,5 А.

Знак «‒» у тока I3 говорит о том, что направление этого тока

противоположно выбранному изначально.

№ 6. Предохранитель из проволоки площадью сечения 0,1 мм2 и

длиной 2 см плавится за 3 мс при напряжении 10 В. Начальная темпе-

ратура предохранителя 27 °С, температура плавления 327 °С. Удель-

ное электросопротивление материала проволоки 0,22 мкОм·м, удель-

ная теплота плавления 2,5·104 Дж/кг, удельная теплоемкость

126 Дж/(кг·К). Определите массу проволоки в предохранителе.

Д а н о: S = 10‒7 м2,  = 2·10‒2 м, t = 3·10‒3 с, U = 10 B, T1 = 27 °С;

T2 = 327 °С, ρ = 0,22·10‒6 Ом·м, λ = 2,5·104 Дж/кг, c = 126 Дж/(кг·К).

Р е ш е н и е. При коротком замыкании количество теплоты,

выделившееся на предохранителе,

U2 Q t.

R

 Сопротивление предо-

хранителя R ρ .

S

  Тепло, выделившееся в предохранителе, идет на

его нагрев и плавление:

н пQ  Q Q ,

где н 2 1 п Q  cm(T T ); Q  λm.

В итоге получаем уравнение:

2

2 1 ( ) λ

ρ

cm T T  m  U S t,

откуда

 

2

2 1 ρ ( ) λ

m U St

c T T

 

  

 

2 7 3

4

6 2 4

10 10 3 10 1,1 10 кг.

0,22 10 2 10 126 300 2,5 10

 

 

  

  

     