ЛенЭлектроЩит

Производство электрощитового оборудования

Меню

Кабель и провод
Арматура кабельная
Низковольтное оборудование
Светильники
Лампы
Розетки, выключатели
Электрощитовое оборудование
ГРЩ
ВРУ
АВР
ЩУН
Я5000
Комплектующие
Распределительные щиты Prisma
Автоматический выключатель.
Шкафы FORT на 4000А
Автоматические выключатели Tmax
Выключатели нагрузки
Контакторы
Шина
Реле температуры на микроконтроллерах
Блок АВР
АВДТ ABB DS800 на 125 А
Статьи
Энергия
Нетрадиционная энергетика
Традиционная энергия
Электротехника
Трансформаторы
Электродвигатели
Электропривод
Электростанции
Техническая информация
Энергоснабжение потребителей
Охрана труда
Трансформаторы
Система автоматического запуска генератора
Двигатели
Пускатели
Учет
Испытания
Электрическая нагрузка. Виды электрических нагрузок.
Основные этапы производства электромонтажных работ
Организация и производство электромонтажных работ
Обучение
Физика
Электротехника

3.3. Магнетизм

3.3.1. Основные свойства магнитного поля

Магнитное поле

Экспериментально установлено, что электрические токи взаимо-

действуют между собой. Это взаимодействие осуществляется через

поле, называемое магнитным. Название происходит от того, что, как

обнаружил в 1920 г. Х.К. Эрстед, поле, возбуждаемое током, оказыва-

ет ориентирующее действие на магнитную стрелку. В опыте Эрстеда

проволока, по которой шел ток, была натянута над магнитной стрел-

кой, вращающейся на игле. При включении тока стрелка устанавлива-

лась перпендикулярно к проволоке. Изменение направления тока вы-

зывало поворот стрелки в противоположную сторону.

Из опыта Эрстеда следует, что магнитное поле имеет направ-

ленный характер и должно характеризоваться векторной величи-

ной. Эту величину назвали магнитной индукцией B

.

Магнитное поле, в отличие от электрического, не оказывает

действия на покоящийся заряд. Сила возникает лишь тогда, когда

заряд движется. Проводник с током представляет собой электриче-

ски нейтральную систему зарядов, в которой заряды одного знака

движутся в одну сторону, а заряды другого знака движутся в проти-

воположную сторону (либо покоятся). Отсюда следует, что магнит-

ное поле порождается движущимися зарядами.

Итак, движущиеся заряды (токи) изменяют свойства окружающе-

го их пространства – создают в нем магнитное поле. Это поле прояв-

ляется в том, что на движущиеся в нем заряды (токи) действуют силы.

Контур с током в магнитном поле

Подобно тому, как для исследования элек-

трического поля мы использовали пробный то-

чечный заряд, для исследования магнитного по-

ля будем использовать пробный ток, циркули-

рующий в плоском замкнутом контуре очень

малых размеров. Ориентацию контура в пространстве будем харак-

теризовать направлением нормали n к контуру, связанной с на-

правлением тока правилом правого винта (рис. 3.19). Такую нор-

маль мы будем называть положительной.

n

I

Рис. 3.19

160

Причина использования пробного контура с током состоит

в том, что поле, возбуждаемое током, оказывает на него такое же

ориентирующее действие, как и на магнитную стрелку: положи-

тельная нормаль контура разворачивается в ту же сторону, что

и северный полюс магнитной стрелки. Примем это направление за

направление поля, т.е. вектора B

в данной точке.

Итак, поместив пробный контур в магнитное поле, мы обнару-

жим, что поле устанавливает контур положительной нормалью вдоль

поля. Если контур повернуть так, чтобы направления нормали и поля

не совпадали, возникает вращающий момент, стремящийся вернуть

контур в равновесное положение (рис. 3.20). Значение момента зави-

сит от угла  между нормалью и направлением поля: вращающий мо-

мент сил оказывается пропорциональным sin , достигая наибольшего

значения Mmax при  = /2, а при  = 0 момент равен нулю.

Вращающий момент зависит как от

свойств поля в данной точке, так и от

свойств контура. Внося в одну и ту же

точку поля разные пробные контуры, мы

обнаружим, что при фиксированном 

вращающий момент пропорционален си-

ле тока I в контуре и площади S контура

и совершенно не зависит от формы кон-

тура. Таким образом, действие магнитного поля на плоский контур

с током определяется величиной pm  I S, которую называют маг-

нитным моментом контура, [pm] = A·м2.

Кроме силы тока I и площади S контур характеризуется также

ориентацией в пространстве. Поэтому магнитный момент следует

рассматривать как вектор, направление которого совпадает с на-

правлением положительной нормали n :

, m p  I S n (3.79)

где n – единичный вектор.

Магнитная индукция

На пробные контуры, отличающиеся значением pm, действуют

в данной точке разные по модулю вращающие моменты М. Однако

отношение М/pm оказывается при фиксированном  одним и тем

I

pm

B

M n

Рис. 3.20

161

же. Поэтому в качестве модуля магнитной индукции можно при-

нять величину, равную отношению Мmax/pm:

max ,

m

B M

p

 (3.80)

где Мmax – наибольшее значение вращающего момента, получаю-

щееся при  = /2.

Итак, магнитная индукция есть векторная величина, модуль ко-

торой определяется выражением (3.80), а направление задается рав-

новесным положением положительной нормали к контуру с током.

Тогда модуль момента сил для произвольного угла будет опре-

деляться соотношением

M = pm B sin . (3.81)

Вектор вращающего момента сил

M

перпендикулярен векто-

рам m p  и

B

, причем его направление можно определить по правилу

буравчика: кратчайший поворот буравчика от m p  к

B

приведет

к поступательному перемещению буравчика в сторону

M (

см.

рис. 3.20). Таким образом, вектор момента сил

M

можно предста-

вить как векторное произведение векторов m p  и

B

:

, m M  p  B

   (3.82)

модуль же момента определяется соотношением (3.81).

В соответствии с (3.80) единица В, называемая тесла (Тл), рав-

на магнитной индукции однородного поля, в котором на плоский

контур с током, имеющий магнитный момент 1 Ам2, действует

максимальный вращающий момент, равный 1 Нм.

Экспериментально установлено, что для магнитного поля, как

и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: индук-

ция поля

B

, порождаемого несколькими движущимися зарядами

(токами), равна векторной сумме индукций полей

i B , порождаемых

каждым зарядом (током) в отдельности:

   

i B B . (3.83)

Закон Био – Савара – Лапласа

Ж.Б. Био и Ф. Савар провели в 1820 г. исследование магнитных

полей, создаваемых токами, текущими по тонким проводам различной

162

формы. П. Лаплас проанализировал экспериментальные данные, по-

лученные Био и Саваром, и установил зависимость, которая получила

название закона Б и о – С а в а р а – Л а п л а с а . Согласно этому за-

кону магнитное поле любого тока может быть вычислено как век-

торная сумма (суперпозиция) полей, создаваемых отдельными эле-

ментарными участками тока. Для магнитной индукции поля, созда-

ваемого элементом тока длиной d ,



 Лаплас получил формулу

0

3

d d

4

B I r ,

r

 

    (3.84)

где 0 – магнитная постоянная, 0 = 410–7 Гн/м,

где Гн (генри) – единица индуктивности (см.

подразд. 3.3.7);d



 – вектор, совпадающий с эле-

ментарным участком тока и направленный в ту

сторону, в какую течет ток (рис. 3.21); r – век-

тор, проведенный от элемента тока в ту точку,

в которой определяется d ; B

r – модуль этого вектора. Вектор dB 

перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы d



 и r

(как результат векторного произведения). Направление вектора dB 

можно определить по правилу буравчика: кратчайший поворот бу-

равчика от d



 к r приведет к поступательному перемещению бу-

равчика в сторону dB 

(см. рис. 3.21).

Модуль вектора (3.84) определяется выражением

0

2

d d sin

4

B I ,

r

 

  (3.85)

где  – угол между векторами r и d .



Приведем некоторые примеры полей, которые можно рассчи-

тать с помощью закона Био – Савара – Лапласа.

Пример 1. Поле прямого тока – поле тока, текущего по тонко-

му прямому проводу бесконечной длины.

Линии магнитной индукции поля прямого тока представляют

собой систему охватывающих провод концентрических окружно-

стей (рис. 3.22, а). Зависимость магнитной индукции от расстояния

r до провода выражается формулой

0 .

2

B I

r

(3.86)

I

d

r

Рис. 3.21

dB

r

d



163

а) б)

в)

B B

I

N

S

I

B

r

O

pm

r

I

B

г)

Рис. 3.22

Пример 2. Поле кругового тока – поле тока, текущего по тон-

кому проводнику, имеющему форму окружности радиусом R.

Линии магнитной индукции поля кругового тока изображены

на рис. 3.22, б. В центре (в точке О) кругового тока магнитная ин-

дукция направлена в сторону положительной нормали n к контуру,

т.е. в сторону вектора : m p 

0 0

2 2 3

m .

O

B I n p

R R

 

 

   (3.87)

Магнитная индукция на оси кругового тока зависит от расстоя-

ния r до центра (точки O):

0

2 2 3/2 ( )

2 ( )

m . B r p

R r

 

 

(3.88)

Поле кругового тока подобно полю постоянного магнита

(рис. 3.22, в), поэтому контур с током и магнитная стрелка ведут

себя одинаково в магнитном поле, которое оказывает на них ориен-

тирующее действие.

Пример 3. Поле соленоида – поле провода, навитого на цилин-

дрический каркас. Структура поля соленоида конечной длины по-

казана на рис. 3.22, г и тоже напоминает поле кругового тока (как

поле нескольких витков). Характеристикой соленоида является

плотность намотки n  N /  (число витков на единицу длины).

В учении об электромагнетизме большую роль играет вообра-

жаемый бесконечно длинный соленоид, равномерно обтекаемый

а б

в г

164

током. У такого соленоида поле оказывается однородным и сосре-

доточенным внутри соленоида:

B  0n I. (3.89)

Вне соленоида поле отсутствует.

Пример 4. Поле движущегося точечного

заряда. Поскольку ток – совокупность упоря-

доченно движущихся зарядов – создает маг-

нитное поле, то с помощью закона Био – Сава-

ра – Лапласа можно также получить выражение

для магнитной индукции поля, создаваемого

отдельным точечным зарядом q, движущимся со скоростью v :

0

3 ,

4

 

 q  r B

r

v (3.90)

где r – вектор, проведенный от заряда в данную точку поля; r – его

модуль (рис. 3.23). Модуль вектора (3.90) определяется выражением

0

2 sin

4

B q ,

r

 

v (3.91)

где  – угол между векторами v и r .

3.3.2. Закон Ампера. Сила Лоренца

Согласно закону, установленному Ампером, на элемент d



 тока

I со стороны магнитного поля B

действует сила (сила Ампера):

А dF  I d  B;

  

 (3.92)

модуль этой силы

А dF  I d Bsin ,

 (3.93)

где  – угол между векторами d



 и . B

Направление силы Ампера можно определить

по правилу буравчика: кратчайший поворот от d



к

B

приведет к поступательному перемещению бу-

равчика в сторону dF

(рис. 3.24). Направление силы

Ампера можно также определить по правилу

левой руки: кисть левой руки расположить так, что-

r

B

v

Рис. 3.23

d

dF

I

B

Рис. 3.24

B 

d



165

бы четыре вытянутых пальца располагались вдоль тока, а магнитная

индукция «входила» в ладонь. Тогда отогнутый на 90 большой палец

укажет направление силы Ампера.

С помощью соотношений (3.86) и (3.92) мож-

но рассчитать силу (на единицу длины) взаимо-

действия двух находящихся в вакууме параллель-

ных бесконечно длинных прямых токов. Если рас-

стояние между токами b (рис. 3.25), то каждый

элемент тока I2 будет находиться в возбуждаемом

током I1 поле, магнитная индукция которого

0 1

1 .

2

B I

b

Угол между элементом тока I2 и вектором 1

B

прямой. Тогда на

элемент d



 тока I2 будет действовать сила

0 1 2

А 2 1 d d d .

2

F I B I I

b

 

 

Для силы, действующей на единицу длины, получаем:

0 1 2 .

2

F I I

b

  (3.94)

На основании формулы (3.94) устанавливается эталон силы то-

ка в СИ – ампер. Ампер определяется как сила неизменяющегося

тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным

проводникам бесконечной длины и ничтожно малого кругового се-

чения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакуу-

ме, вызвал бы между этими проводниками силу, равную 210–7 Н на

каждый метр длины.

Сила Ампера (3.92) обусловлена тем, что магнитное поле дей-

ствует на носители тока. От носителей тока действие силы переда-

ется проводнику, по которому они перемещаются. Из выражения

для силы Ампера (3.92) можно найти силу, действующую со сторо-

ны магнитного поля на отдельно взятый движущийся со скоростью

v

заряд q (эта сила называется силой Лоренца):

Л F  q  B.

  v (3.95)

Модуль силы Лоренца

Л F  q v Bsin, (3.96)

dF d

I2

B1

I1

b

Рис. 3.25

d



166

где  – угол между векторами v и B.

Заряд, движущийся вдоль линий

магнитного поля, не испытывает дейст-

вия силы (в этом случае  = 0).

Направлена магнитная сила пер-

пендикулярно к плоскости, в которой лежат векторы v и B.

Если

заряд положителен, направление силы можно определить по прави-

лу левой руки, как для тока (за положительное направление тока

принято направление движения положительных зарядов). В случае

отрицательного заряда сила направлена в противоположную сторо-

ну. На рис. 3.26 показан пример определения направления силы

Лоренца, действующей на положительный и отрицательный заряды

со стороны магнитного поля (направленного от нас).

Магнитная сила всегда направлена перпендикулярно к скоро-

сти заряженной частицы, поэтому она работы над частицей не со-

вершает. Следовательно, действуя на заряженную частицу постоян-

ным магнитным полем, изменить ее энергию нельзя. Магнитная си-

ла создает нормальное ускорение заряженной частицы.

Пример. Если заряд q движется в однородном магнитном поле

со скоростью , v перпендикулярной вектору , B

то магнитная сила

создает нормальное ускорение, модуль которого

  n

a F q B

m m

v (3.97)

остается постоянным ( = /2).

В случае, когда частица движется в плоскости с постоянными

по модулю скоростью и нормальным ускорением, траекторией яв-

ляется окружность, радиус которой определяется соотношением

(1.15): an = v2 /R. С учетом (3.97) находим радиус:

R m .

qB

 v (3.98)

Радиус окружности зависит от скорости частицы, магнитной

индукции поля и отношения заряда частицы к ее массе. Отношение

q/m называется удельным зарядом частицы.

Разделив длину окружности 2R на скорость v, получим пери-

од обращения частицы, т.е. время, затрачиваемое на один оборот:

T 2 m.

qB

 (3.99)

F v Л

B

v FЛ

Рис. 3.26

167

Из этой формулы следует, что период обращения частицы не

зависит от ее скорости, он определяется только удельным зарядом

частицы и магнитной индукцией поля (это обстоятельство лежит в

основе действия циклотрона – циклического ускорителя элемен-

тарных частиц).

3.3.3. Поток и циркуляция вектора магнитной индукции

Элементарный поток вектора

B

через

поверхность площадью dS с нормалью n

dФ d cos d d , B n   Bn S  B  S  B S

  (3.100)

где n – нормаль к поверхности (внешняя для

замкнутых поверхностей);  – угол между

векторами n и

B

(рис. 3.27).

Для произвольной поверхности S поток вектора

B

(магнитный

поток)

Ф d . B n

S

   B S (3.101)

Единицей потока магнитной индукции (магнитного потока) яв-

ляется вебер, [ ФB

 ] = Вб.

В природе нет магнитных зарядов, вследствие чего линии

B

не

имеют ни начала, ни конца – они либо замкнуты, либо уходят

в бесконечность. Поэтому магнитный поток через замкнутую по-

верхность должен быть равен нулю (сколько линий вектора

B

вхо-

дит в замкнутую поверхность, столько же и выходит из нее). Сле-

довательно, для любого магнитного поля и произвольной замкну-

той поверхности S

d 0. n

S

 B S  (3.102)

Эта формула выражает теорему Гаусса для вектора

B

:

поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую по-

верхность равен нулю.

Циркуляцию d B 

 

  вектора

B

по контуру  проще найти на

примере поля прямого тока (см. рис. 3.22, а). Для простоты возьмем

контур в форме концентрической окружности радиусом r вокруг

n B

dS

Рис. 3.27

168

проводника с током в ортогональной проводнику плоскости

(рис. 3.28).

Магнитная индукция в каждой точке кон-

тура (на расстоянии r от провода) направлена

по касательной к контуру (см. формулу (3.86)):

0

2

B I

r

. Таким образом, d d 0 d .

2

B B I

r

  

 

  

Циркуляция 0

0 d d

2

B I I

r

  

  

 

 

    (где d 2 r   

  – длина ок-

ружности).

Для произвольного контура и нескольких токов получим сле-

дующую формулу:

0 d ,i

i

B I     

 

  (3.103)

где  i

i

I – алгебраическая сумма токов, охватываемых контуром.

При этом токи, направления которых образуют с направлением об-

хода правовинтовую систему, берутся со знаком «плюс», ток про-

тивоположного направления будет отрицательным.

Таким образом, циркуляция вектора B

по некоторому контуру

равна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром, ум-

ноженной на 0. Это утверждение называется теоремой о цир-

куляции вектора магнитной индукции (в вакууме).

Сравним поток и циркуляцию электростатического и магнитного

полей в вакууме. Согласно формулам (3.10), (3.23), (3.102), (3.103):

0

d 1 , n

S

E S  q

    d 0, E   

 

 

d 0, n

S

 B S  0 d .i

i

B I     

 

 

Сопоставление этих формул показывает, что электростатиче-

ское и магнитное поля имеют существенно различный характер.

Источниками электростатического поля являются заряды q. Маг-

нитное поле не имеет источников. Циркуляция напряженности

электростатического поля равна нулю; следовательно, электроста-

тическое поле потенциально и может быть охарактеризовано по-

тенциалом . Циркуляция вектора магнитной индукции пропор-

циональна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром.

B

I r

d

Рис. 3.28

d



169

Поэтому магнитному полю нельзя приписать скалярный потенциал,

аналогичный потенциалу  электростатического поля.

Поле, у которого циркуляция отлична от нуля, называется вих-

ревым или соленоидальным.

Таким образом, в то время как электростатическое поле потен-

циально, магнитное поле, в отличие от него, является вихревым.

3.3.4. Работа, совершаемая при перемещении

тока в магнитном поле

Допустим, что прямолинейный про-

вод с током может перемещаться во

внешнем магнитном поле. Это можно

осуществить с помощью скользящих

контактов между концами провода и ос-

тальными участками замкнутой цепи

(рис. 3.29). Предположим, что замкнутая

цепь образует плоский контур. Внешнее

поле будем считать однородным и перпендикулярным к плоскости

контура.

В случае, изображенном на рис. 3.29, направление поля и на-

правление положительной нормали n к контуру совпадают. Поэто-

му магнитный поток, пронизывающий контур, положителен и равен

BS (S – площадь контура). Сила

F , действующая на провод в этом

случае, направлена вправо и имеет модуль, равный IB . При пере-

мещении провода вправо на dx эта сила совершает над ним положи-

тельную работу

dA  F dx  IBdx  IBdS  I d,

где dS – приращение площади контура; dФ – приращение магнит-

ного потока через контур, которое равно потоку, «пересеченному»

проводом при его движении. В данном случае dФ > 0.

При перемещении провода влево работа силы

F была бы от-

рицательной. Приращение магнитного потока также было бы отри-

цательным.

В любом случае совершенная над проводом работа равна силе

тока, умноженной на пересеченный проводом магнитный поток:

dA  I d. (3.104)

I

F 

dS

dx

S

B

n

Рис. 3.29

õ

170

Данное соотношение оказывается справедливым для провода

любой формы, а также для провода, движущегося в неоднородном

магнитном поле.

Чтобы получить работу, совершаемую в магнитном поле при

конечном перемещении провода, нужно просуммировать элемен-

тарные работы (3.104), совершаемые на элементарных участках пу-

ти. В результате получим:

A  I d  I , (3.105)

где Ф – изменение магнитного потока, пронизывающего контур

(или поток, «пересеченный» проводом при его движении); ток

в проводе предполагается постоянным.

Отметим, что работа (3.105) совершается не за счет энергии

внешнего магнитного поля (это поле остается неизменным), а за

счет источника тока, поддерживающего постоянной силу тока I.

3.3.5. Магнитное поле в веществе

Если в магнитное поле 0

B

, созданное в вакууме, поместить ка-

кое-либо вещество, то поле изменяется. Это объясняется тем, что

всякое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием

магнитного поля приобретать магнитный момент (намагничивать-

ся). Намагниченное вещество создает дополнительное поле 

B

, ко-

торое складывается с полем 0

B

в результирующее поле

0   

  

B B B. (3.106)

Истинное (микроскопическое) поле в магнетике сильно изме-

няется в пределах межмолекулярных расстояний. Под

B

подразу-

мевается усредненное (макроскопическое) поле.

Для объяснения намагничивания тел Ампер предположил, что

в молекулах вещества циркулируют круговые токи (молекулярные

токи). Каждый такой ток обладает магнитным моментом и создает

в окружающем пространстве магнитное поле. В отсутствие внешне-

го поля молекулярные токи ориентированы беспорядочным обра-

зом, поэтому обусловленное ими результирующее поле в среднем

равно нулю. Вследствие хаотической ориентации магнитных мо-

ментов отдельных молекул суммарный магнитный момент тела

также равен нулю. Под действием внешнего поля магнитные мо-

менты молекул приобретают преимущественную ориентацию в од-

171

ном направлении, вследствие чего вещество намагничивается: его

суммарный магнитный момент становится отличным от нуля. Маг-

нитные поля отдельных молекулярных токов в этом случае уже не

компенсируют друг друга, и возникает поле 

B

.

Намагничивание вещества естественно характеризовать маг-

нитным моментом единицы объема. Эту величину называют намаг-

ниченностью и обозначают буквой

J :

1 ,

m

V

J p

V 

    (3.107)

где m p  – магнитный момент отдельной молекулы. Суммирование

производится по всем молекулам, находящимся в объеме V.

Линии поля 

B

, как и поля 0

B

, являются замкнутыми, поэтому

поток магнитной индукции 

B

(а следовательно, и

B

) через любую

замкнутую поверхность равен нулю. Таким образом, теорема Гаус-

са (3.102) справедлива не только для поля в вакууме, но и для поля

в веществе.

Для того чтобы найти циркуляцию поля

B

по некоторому кон-

туру, кроме суммы макроскопических токов (создающих поле 0

B

),

нужно также знать алгебраическую сумму молекулярных токов, ох-

ваченных этим контуром, которая в свою очередь зависит от

B

.

Для расчета магнитных полей в веществе вместо магнитной

индукции

B

более удобной оказывается вспомогательная величина

0

H  B  J ,

  

(3.108)

циркуляция которой определяется лишь суммой макроскопических

токов:

d .i

i

H I   

 

  (3.109)

Эта величина называется напряженностью магнитного поля.

Соотношение (3.109) выражает теорему о циркуляции век-

тора

H: циркуляция вектора напряженности магнитного поля

H

по некоторому контуру равна алгебраической сумме макроскопи-

ческих токов, охватываемых контуром.

172

Единицей напряженности магнитного поля

H

и намагничен-

ности

J является ампер на метр, [H] = [J] = A/м.

Намагниченность

J принято связывать с напряженностью

H

:

J  H,

 

(3.110)

где  – безразмерная, характерная для данного магнетика величина,

называемая магнитной восприимчивостью.

Подставим (3.110) в (3.108) и выразим

H

:

0 (1

.

)

H  B

  

 

(3.111)

Безразмерная величина

 = 1 +  (3.112)

называется магнитной проницаемостью вещества.

С учетом (3.112) формуле (3.111) можно придать вид:

0

 .

 

  H B (3.113)

В отличие от диэлектрической восприимчивости κ, которая

может иметь лишь положительные значения, магнитная восприим-

чивость  бывает как положительной, так и отрицательной. Поэто-

му магнитная проницаемость  может быть как больше, так

и меньше единицы.

Если некоторую область пространства, в которой создано од-

нородное поле 0

B

, заполнить магнетиком, то поле усилится в  раз:

0  .

 

B B (3.114)

Отсюда вытекает физический смысл магнитной проницаемости: 

показывает, во сколько раз усиливается поле в магнетике при внесе-

нии его в магнитное поле. Напомним, что диэлектрическая проницае-

мость показывает, во сколько раз ослабляется поле в диэлектрике.

Векторы

B

и

H на границе раздела двух однородных и

изотроп-

ных магнетиков 1 и 2 (рис. 3.30) должны удовлетворять определенным

условиям. Рассуждения, приводящие к установлению этих условий,

аналогичны рассуждениям, изложенным в подразд. 3.1.5 при установ-

лении условий на границе двух диэлектриков, и могут быть получены

из теоремы Гаусса для

B

и теоремы о циркуляции

H

:

173

B1n = B2n, H1 = H2, (3.115)

1 1

2 2

B

B

, 1 2

2 1

n

n

H

H

, (3.116)

1 1

2 2

tg ,

tg

 

 

(3.117)

где 1 и 2 – углы, образуемые с нор-

малью к поверхности раздела векто-

рами 1 B

и 2 ; B

1 и 2 – магнитные

проницаемости первой и второй сред.

В зависимости от численного зна-

чения магнитной проницаемости все

магнетики подразделяются на три

группы:

1)  1 – диамагнетики (Ag, Au,

Cu, …);

2)  1 – парамагнетики (Al, Pt, …);

3)  1 – ферромагнетики (Fe, Ni, Co, Gd, …).

Диа- и парамагнетики принадлежат к категории слабомагнитных

веществ, их магнитная проницаемость не зависит от напряженности

поля H

. Особый класс магнетиков образуют вещества, способные

обладать намагниченностью в отсутствие внешнего магнитного по-

ля. По своему наиболее распространенному представителю –

железу – они получили название ферромагнетиков.

Ферромагнетики являются сильномагнитными веществами. Их

намагниченность на несколько порядков превосходит намагничен-

ность диа- и парамагнетиков.

Намагниченность и магнитная

индукция слабомагнитных веществ

изменяются с напряженностью поля

линейно (см. (3.110)). Намагничен-

ность ферромагнетиков зависит от H

сложным образом. На рис. 3.31 и 3.32

приведены кривые намагничивания

железа. Основной (или нулевой) кри-

вой намагничивания (кривая 0 – 1)

называется кривая намагничивания

1



B1

B2

1

2

B

BB Рис. 3.30

H

J

J 1 S

HC

2

3

0

4

5

Jr

HS

Рис. 3.31

n

174

ферромагнетика, намагниченность которого первоначально была

равна нулю. При некотором значении напряженности HS (порядка

100 А/м) намагниченность железа достигает намагниченности на-

сыщения JS. Поскольку B = 0(H + J), то по достижении насыще-

ния B продолжает расти с H по линейному закону (прямая 1 – 1' на

рис. 3.32).

Кроме нелинейной зависимости

J от H (или B от H), для ферромагне-

тиков характерно явление гистере-

зиса. Если довести намагниченность

до насыщения (точка 1) и затем

уменьшать напряженность магнит-

ного поля, то намагниченность J и

индукция B изменяются не по перво-

начальной кривой 1 – 0, а по кривой

1 – 2. В результате, когда напряжен-

ность внешнего поля становится

равной нулю (точка 2), намагничен-

ность не исчезает и характеризуется величиной Jr, которая называ-

ется остаточной намагниченностью. Магнитная индукция имеет

при этом значение Br, называемое остаточной индукцией.

Индукция обращается в нуль лишь под действием поля напря-

женностью HC, направленного противоположно полю, вызвавшему

намагничивание. Напряженность HC называется коэрцитивной силой.

При действии на ферромагнетик переменного магнитного поля

намагниченность и индукция изменяются в соответствии с кривой

1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 1, которая называется петлей гистерезиса. Гисте-

резис приводит к тому, что намагниченность J ферромагнетика не

является однозначной функцией H, она зависит от предыстории об-

разца – от того, в каких полях он побывал прежде.

В связи с неоднозначностью зависимости B от H понятие маг-

нитной проницаемости применяется лишь к основной кривой на-

магничивания 0 – 1 – 1'. Магнитная проницаемость ферромагнети-

ков является функцией напряженности поля.

Для каждого ферромагнетика имеется определенная темпера-

тура, называемая точкой Кюри, при которой он теряет свои ферро-

магнитные свойства. При нагревании образца выше точки Кюри

ферромагнетик превращается в обычный парамагнетик.

HS

B

1

HC

2

3

0

4

5

Br

1`

H

Рис. 3.32

1

2

3

5

175

Качественная теория ферромагнетизма была разработана фран-

цузским физиком П. Вейссом. Согласно представлениям Вейсса

ферромагнетики при температурах ниже точки Кюри разбиваются

на большое число малых макроскопических областей – доменов,

самопроизвольно намагниченных до насыщения. Линейные разме-

ры доменов составляют порядка 10–4 – 10–2 см.

При отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты

отдельных доменов ориентированы хаотически и компенсируют друг

друга, поэтому результирующий магнитный момент ферромагнетика

равен нулю (ферромагнетик не намагничен). Внешнее магнитное поле

ориентирует по полю магнитные моменты не отдельных атомов, как

это имеет место в случае парамагнетиков, а целых доменов. При ос-

лаблении внешнего магнитного поля до нуля ферромагнетики сохра-

няют остаточную намагниченность, так как тепловое движение не

в состоянии быстро дезориентировать магнитные моменты столь

крупных образований, какими являются домены. Поэтому и наблюда-

ется явление магнитного гистерезиса. Для того, чтобы ферромагнетик

размагнитить, необходимо приложить коэрцитивную силу; размагни-

чиванию способствуют также встряхивание и нагревание ферромагне-

тика. Точка Кюри оказывается той температурой, выше которой про-

исходит разрушение доменной структуры.

Количественная теория ферромагнетизма развита Я.И. Френ-

келем и В. Гейзенбергом на основе квантовой механики.

3.3.6. Электромагнитная индукция

В 1831 г. М. Фарадей открыл, что во всяком замкнутом прово-

дящем контуре при изменении потока магнитной индукции через

поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электриче-

ский ток. Это явление называют электромагнитной индукцией,

а возникающий ток – индукционным. Величина индукционного тока

не зависит от способа, которым вызывается изменение потока маг-

нитной индукции Ф, и определяется лишь скоростью изменения Ф,

т.е. значением d / dt. При изменении знака d / dt меняется также

направление тока.

Поясним сказанное следующим примером. На рис. 3.33 изо-

бражен контур 1, силу тока в котором I1 можно менять с помощью

реостата. Ток I1 создает магнитное поле, пронизывающее контур 2.

176

Если увеличивать ток, то поток

магнитной индукции Ф через кон-

тур 2 будет расти. Это приведет

к появлению в контуре 2 индук-

ционного тока I2, регистрируемо-

го гальванометром. Уменьшение

тока I1 обусловит убывание пото-

ка магнитной индукции через

второй контур, что приведет к по-

явлению в нем индукционного

тока иного направления, чем

в первом случае. Индукционный

ток I2 можно вызвать также, приближая контур 2 к контуру 1 или уда-

ляя второй контур от первого. В обоих случаях направления возни-

кающего тока будут противоположными. Наконец, электромагнитную

индукцию можно вызвать, не перемещая контур 2 поступательно,

а поворачивая его так, чтобы менялся угол между нормалью к контуру

и направлением поля.

Заполнение всего пространства, в котором поле отлично от ну-

ля, однородным магнетиком приводит, при прочих равных услови-

ях, к увеличению индукционного тока в  раз. Этим подтверждает-

ся то, что индукционный ток обусловлен изменением не потока

вектора H

, а потока магнитной индукции . B

Э.Х. Ленц установил правило, с помощью которого можно

найти направление индукционного тока. Правило Ленца гласит,

что индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодей-

ствовать причине, его вызывающей. Если, например, изменение

Ф вызвано перемещением контура, то возникает индукционный ток

такого направления, что сила, действующая на него во внешнем по-

ле, противится движению контура. При приближении контура 2

к первому контуру возникает ток 2I (см. рис. 3.33), который на-

правлен против тока I1, и они отталкиваются. При удалении конту-

ра 2 от первого контура возникает ток 2 I , сонаправленный с током

I1, поэтому они притягиваются.

Пусть контур 2 неподвижен и ток индуцируется в нем путем

изменения тока I1 в первом контуре. В этом случае индуцируется

ток I2 такого направления, что создаваемый им собственный маг-

нитный поток стремится ослабить изменения внешнего потока,

Рис. 3.33

177

приведшие к появлению индукционного тока. При увеличении I1,

т.е. возрастании внешнего магнитного потока, направленного впра-

во, возникает ток I2 , создающий поток, направленный влево. При

уменьшении I1 возникает ток 2I , собственный магнитный поток

которого направлен так же, как и внешний поток, и, следовательно,

стремится поддержать внешний поток неизменным.

Индукционные токи могут возбуждаться и в сплошных мас-

сивных проводниках. В этом случае их называют токами Фуко или

вихревыми токами. Электрическое сопротивление массивного про-

водника мало, поэтому токи Фуко могут достигать очень большой

силы.

В соответствии с правилом Ленца токи Фуко выбирают внутри

проводника такие пути и направления, чтобы своим действием воз-

можно сильнее противиться причине, которая их вызывает. Поэто-

му движущиеся в магнитном поле хорошие проводники испытыва-

ют торможение, обусловленное взаимодействием токов Фуко

с магнитным полем. Этим пользуются для демпфирования (успо-

коения) подвижных частей гальванометров, сейсмографов и других

приборов. На подвижной части прибора укрепляется проводящая

(например, алюминиевая) пластинка в виде сектора (рис. 3.34), ко-

торая вводится в зазор между полюсами постоянного магнита. При

движении пластинки в ней возникают токи Фуко, вызывающие

торможение системы. Преимущество такого устройства состоит

в том, что торможение возникает лишь при движении пластинки

и исчезает, когда пластинка неподвижна. Поэтому электромагнит-

ный успокоитель не препятствует точному приходу системы в по-

ложение равновесия.

Тепловое действие токов Фуко ис-

пользуется в индукционных печах. Такая

печь представляет собой катушку, питае-

мую высокочастотным током большой си-

лы. Если поместить внутрь катушки про-

водящее тело, в нем возникнут интенсив-

ные вихревые токи, которые могут

разогреть тело до плавления. Таким спо-

собом осуществляют плавление металлов

в вакууме, что позволяет получать мате-

риалы исключительно высокой чистоты.

Рис. 3.34

178

Во многих случаях токи Фуко бывают нежелательными и при-

ходится принимать для борьбы с ними специальные меры. Так, на-

пример, чтобы предотвратить потери энергии на нагревание токами

Фуко сердечников трансформаторов, их набирают из тонких пла-

стин, разделенных изолирующими прослойками. Пластины распола-

гаются так, чтобы возможные направления токов Фуко были к ним

перпендикулярными. Появление ферритов (полупроводниковых

магнитных материалов с большим электрическим сопротивлением)

сделало возможным изготовление сердечников сплошными.

Для создания тока в цепи необходимо наличие ЭДС. Поэтому

явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что

при изменениях магнитного потока Ф в контуре возникает электро-

движущая сила индукции õi.

Рассмотрим контур с подвижным проводом-перемычкой, изо-

браженный на рис. 3.29. Контур содержит источник тока с ЭДС õ.

За время dt источник совершает работу

dA  Pdt  õ I dt,

где I – сила тока в контуре; P – мощность, развиваемая источником

тока (см. (3.77)).

Когда провод неподвижен, работа полностью превращается

в джоулеву теплоту dQ  I 2Rdt. Если же провод движется, то за

время dt магнитная сила совершит работу, которая согласно (3.104)

равна Id, где d – магнитный поток через закрашенную площад-

ку, т.е. приращение потока магнитной индукции через контур за

время dt (см. рис. 3.29). Эта работа совершается за счет энергии ис-

точника тока. Таким образом, при движении провода совершаемая

источником тока работа идет не только на выделение теплоты, но

и на совершение над проводом работы: õ I dt  I 2Rdt  I d, отку-

да следует, что

d .

d

I t

R

õ

(3.118)

Полученное выражение означает, что при изменении потока

магнитной индукции через контур сила тока в нем оказывается та-

кой, как если бы, кроме ЭДС источника тока, в контуре действовала

179

ЭДС, равная –d/dt. Эта ЭДС и есть электродвижущая сила индук-

ции. Таким образом,

d .

i dt

õ   (3.119)

Чтобы понять смысл знака «минус» в формуле (3.119), свяжем

знак i õ и направление магнитной индукции

B

(при положитель-

ном потоке) правилом буравчика (правого винта): если вектор

B

направлен от нас (см. рис. 3.29), то положительное значение i õ со-

ответствует обходу по контуру по часовой стрелке (правый винт).

Таким образом, если d/dt > 0, то согласно (3.119) õi < 0, что

означает направление обхода против часовой стрелки; если

d/dt < 0, то õi > 0, что означает направление обхода по часовой

стрелке. Соотношение (3.119) называют законом Фарадея для

электромагнитной индукции.

Пусть контур состоит из N витков (например, представляет со-

бой соленоид). Поскольку витки соединяются последовательно, ин-

дуцируемая в контуре õi будет равна сумме ЭДС, индуцируемых

в каждом из витков в отдельности:

d

d d .

i t dt

õ     

Величину

  (3.120)

называют полным магнитным потоком или потокосцеплением. Ее

измеряют в тех же единицах, что и магнитный поток. Если поток,

пронизывающий каждый из витков, одинаков, то

  N  . (3.121)

ЭДС, индуцируемая в сложном контуре, определяется форму-

лой

d .

i dt

õ   (3.122)

При скорости изменения потокосцепления, равной 1 Вб/с,

в контуре индуцируется ЭДС, равная 1 В.

180

Текущий в каком-либо контуре электрический ток создает про-

низывающий этот контур полный магнитный поток . Изменения

силы тока сопровождаются изменениями магнитного потока, вслед-

ствие чего в контуре индуцируется ЭДС. Это явление называется

самоиндукцией.

Согласно закону Био – Савара – Лапласа магнитная индукция

пропорциональна силе тока, создающего поле. Отсюда следует, что

ток I в контуре и создаваемый им полный магнитный поток  через

контур пропорциональны друг другу:

  L I . (3.123)

Коэффициент пропорциональности L между силой тока и пол-

ным магнитным потоком называется индуктивностью контура.

Пропорциональность потока  силе тока I имеет место только

в том случае, когда магнитная проницаемость  среды, которая ок-

ружена контуром, не зависит от напряженности поля H, т.е. в от-

сутствие ферромагнетиков. В противном случае  является слож-

ной функцией от I.

При неизменной силе тока полный поток может изменяться за

счет изменения формы и размеров контура. Таким образом, индук-

тивность зависит от геометрии контура (т.е. от его формы и разме-

ров), а также от магнитных свойств () среды. Если контур жесткий

и вблизи него нет ферромагнитных тел, индуктивность является по-

стоянной величиной.

Единицей индуктивности служит генри (Гн), равный индуктив-

ности такого проводника, у которого при силе тока в нем в 1 А воз-

никает сцепленный с ним полный магнитный поток в 1 Вб.

Определим индуктивность соленоида. Рассмотрим соленоид

такой длины, чтобы его можно было считать бесконечным. При

протекании по нему тока I внутри соленоида возбуждается одно-

родное поле с индукцией В = 0nI (см. (3.89) и (3.114)). Поток че-

рез каждый из витков Ф = ВS, а полный магнитный поток, сцеплен-

ный с соленоидом,

2

  N  nBS  0n SI, (3.124)

где  – длина соленоида; S – площадь поперечного сечения; n –

число витков на единицу длины.

181

Сравнение формул (3.123) и (3.124) дает для индуктивности

очень длинного соленоида выражение

2

L  0n V, (3.125)

где V – объем соленоида, V  S.

Изменения силы тока в контуре сопровождаются возникнове-

нием электродвижущей силы самоиндукции õs, которая в случае,

если индуктивность остается постоянной (в отсутствие ферромаг-

нетиков), определяется формулой

d .

s d

L I

t

õ   (3.126)

Знак «минус» в этой формуле можно также объяснить правилом

Ленца, согласно которому индукционный ток направлен так, чтобы

противодействовать причине, его вызывающей. В данном случае при-

чиной, вызывающей , s õ является изменение силы тока в цепи.

Рассмотрим два расположенных рядом контура 1 и 2 (см.

рис. 3.33). Текущий в контуре 1 ток силы I1 создает связанный

с контуром 2 полный магнитный поток

2 211 .   L I (3.127)

При изменениях тока I1 в контуре 2 индуцируется ЭДС

1

2 21

d

i d

L I

t

õ   (3.128)

(мы предполагаем, что контуры жесткие и ферромагнетиков вблизи

них нет).

Аналогично при протекании в контуре 2 тока силы I2 возникает

сцепленный с контуром 1 поток 1 12 2   L I . При изменениях тока I2

в контуре 1 индуцируется ЭДС

2

1 12

d .

i d

L I

t

õ  

Контуры 1 и 2 называются связанными, а явление возникнове-

ния ЭДС в одном из контуров при изменении силы тока в другом

называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорционально-

сти L12 и L21 называются взаимной индуктивностью контуров. Со-

ответствующий расчет показывает, что в отсутствие ферромагнети-

ков эти коэффициенты равны друг другу: L12 = L21. Измеряется вза-

имная индуктивность также в генри.

182

В настоящее время в технике наряду с постоянным током ши-

роко используется и переменный ток. Важное преимущество пере-

менного тока над постоянным состоит в том, что напряжение пере-

менного тока можно достаточно легко повышать или понижать

практически без потерь энергии с помощью трансформаторов.

Трансформаторы – это приборы, при помощи которых преобразу-

ется напряжение переменного тока. Принцип работы трансформа-

торов основан на законе электромагнитной индукции.

Простейший трансформатор представляет собой две обмотки,

навитые на один и тот же ферромагнитный сердечник (рис. 3.35).

Концы первой обмотки подключаются к источнику переменного тока

с напряжением U1. Эта обмотка называется первичной. К концам вто-

рой обмотки, на которых создается переменное напряжение U2, под-

ключается нагрузка, потребляющая электроэнергию. Эта обмотка на-

зывается вторичной. Если U2 > U1, трансформатор называется повы-

шающим. Если U2 < U1, трансформатор называется понижающим.

При подключении первичной обмотки к сети переменного на-

пряжения по ней течет переменный ток, создающий в обмотке пе-

ременное магнитное поле и переменный магнитный поток. Все ли-

нии магнитного поля, проходящие через витки первичной обмотки,

проходят и через витки вторичной обмотки, т.е. поток через один

виток вторичной обмотки точно такой же, как поток через один ви-

ток первичной обмотки. Это происходит потому, что магнитное по-

ле в ферромагнетиках значительно превышает магнитное поле

в воздухе и все замкнутые магнитные силовые линии практически

без рассеяния идут внутри общего для обмоток сердечника.

Рис. 3.35

183

Замкнутый ферромагнитный сердечник, являясь «проводником

магнитных силовых линий», представляет собой замкнутую «маг-

нитную цепь» – магнитопровод, внутри которого проходят все си-

ловые линии.

В результате электромагнитной индукции переменный магнит-

ный поток в магнитопроводе создает в обеих обмотках ЭДС индук-

ции, пропорциональную первой производной магнитного потока.

Когда вторичная обмотка ни к чему не подключена (режим холо-

стого хода), ЭДС индукции в первичной обмотке практически пол-

ностью компенсирует напряжение источника питания, поэтому ток

через первичную обмотку невелик. Напряжение на вторичной об-

мотке в режиме холостого хода определяется коэффициентом

трансформации – отношением числа витков первичной обмотки N1

к числу витков вторичной обмотки N2:

1 1

2 2

K U N .

U N

  (3.129)

При подключении вторичной обмотки к нагрузке по ней начи-

нает течь ток. Этот ток также создает магнитный поток в магнито-

проводе, причем он направлен противоположно магнитному пото-

ку, создаваемому первичной обмоткой. В результате в первичной

обмотке нарушается компенсация ЭДС индукции и ЭДС источника

питания, что приводит к увеличению тока в первичной обмотке до

тех пор, пока магнитный поток не достигнет практически прежнего

значения. В этом режиме отношение токов первичной и вторичной

обмотки равно обратному отношению числа витков обмоток:

1 2

2 1

I N .

I N

 (3.130)

Отношение напряжений в первом приближении остается преж-

ним. В результате мощность, потребляемая от источника в цепи пер-

вичной обмотки, практически полностью передается во вторичную.

Наиболее часто трансформаторы применяются в электросетях

и в источниках питания различных приборов.

3.3.7. Энергия магнитного поля

Пусть имеется цепь, изображенная на рис. 3.36. При замкнутом

ключе в соленоиде установится ток I, который обусловит магнитное

поле, сцепленное с витками соленоида. Если разомкнуть ключ, то

184

через сопротивление R будет некоторое время течь постепенно

убывающий ток, поддерживаемый возникающей в соленоиде ЭДС

самоиндукции. Работа, совершаемая током за время dt,

d d d d d .

s d A I t I t I

t

 õ      (3.131)

Эта работа идет на прира-

щение внутренней энергии со-

противления R, обмотки соле-

ноида и соединительных прово-

дов (т.е. на их нагревание).

Совершение работы сопровож-

дается ослаблением магнитного

поля. Поскольку никаких других

изменений в окружающих элек-

трическую цепь телах не проис-

ходит, остается заключить, что магнитное поле является носителем

энергии, за счет которой и совершается работа (3.131). Таким обра-

зом, обозначив энергию сцепленного с соленоидом магнитного по-

ля через W, можно написать, что

dW  dA  Id (3.132)

(работа dА равна убыли энергии).

Если индуктивность соленоида не зависит от I (L = const), то

d = L dI и выражение (3.132) принимает вид

dW  LIdI. (3.133)

Проинтегрировав это выражение в пределах от 0 до I, получим

выражение для энергии магнитного поля соленоида с индуктивно-

стью L, по которому течет ток I:

2

2

W  LI . (3.134)

Выразим энергию магнитного поля через величины, характери-

зующие само поле. В случае бесконечно длинного (практически

очень длинного) соленоида 2

0 L   n V , H = n I, откуда I  H

n

.

Подставляя эти значения L и I в (3.134), получим:

Рис. 3.36

185

2

0

2

W H V.

 

 (3.135)

Магнитное поле бесконечно длинного соленоида однородно

и отлично от нуля только внутри соленоида. Следовательно, энер-

гия заключена в пределах соленоида и распределена по его объему

с постоянной плотностью w, которую можно получить, разделив W

на V:

2

0 .

2

 

w  H (3.136)

С учетом (3.113) выражение для объемной плотности энергии

магнитного поля можно переписать в виде

2

0 2 2

 

 

w BH B . (3.137)

Данные соотношения получены на примере однородного поля

соленоида, но они справедливы и для неоднородного поля.

Чтобы найти энергию магнитного поля, заключенную в неко-

тором объеме V, нужно вычислить интеграл

2

0d μ d .

2 V V

W V H V

 w   (3.138)

3.3.8. Уравнения Максвелла

Если неподвижный контур находится в переменном магнитном

поле, то, согласно открытию Фарадея, в контуре возникает индук-

ционный ток, который свидетельствует о том, что изменяющееся во

времени магнитное поле вызывает в контуре появление сторонних

сил. Эти силы не связаны ни с химическими, ни с тепловыми про-

цессами в проводнике; они также не могут быть магнитными сила-

ми, поскольку такие силы работы над зарядами не совершают. Ос-

тается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим

в проводнике электрическим полем (сторонних сил), причем цир-

куляция напряженности поля сторонних сил дает ЭДС индукции:

ст d . i E   

 

õ   (3.139)

Данное выражение для ЭДС является обобщением соотноше-

ния (3.64) на случай замкнутого контура.

186

Согласно закону Фарадея (3.119) можем записать следующее:

d d d .

i d d n

S

B S

t t

õ      (3.140)

Приравняв правые части формул (3.139) и (3.140), придем к со-

отношению:

ст d d d .

d n

S

E BS

t

    

 

  (3.141)

Максвелл предположил, что изменяющееся со временем маг-

нитное поле обусловливает появление в пространстве электриче-

ского поля независимо от присутствия в этом пространстве прово-

дящего контура. Причем, это поле существенно отличается от по-

рождаемого неподвижными зарядами электростатического поля.

Электростатическое поле потенциально, его линии напряженности

начинаются и оканчиваются на зарядах. Циркуляция напряженно-

сти электростатического поля по любому замкнутому контуру рав-

на нулю (см. (3.10)). Циркуляция напряженности поля, обусловлен-

ного изменяющимся магнитным полем, согласно (3.141) отлична от

нуля. Следовательно, это поле, как и магнитное, является вихре-

вым. Линии напряженности вихревого электрического поля замкну-

ты или уходят в бесконечность.

Итак, электрическое поле может быть как потенциальным, так

и вихревым. В общем случае электрическое поле складывается из

электростатического поля, создаваемого зарядами, и вихревого по-

ля, обусловленного изменяющимся со временем магнитным полем.

Из соотношений (3.10) и (3.141) получаем обобщенную теорему

о циркуляции напряженности электрического поля:

d d d ,

d n

S

E B S

t

    

 

  (3.142)

где

E

– результирующая напряженность электростатического и

вихревого электрических полей.

Таким образом, электрическое поле не только существует во-

круг зарядов, но и порождается переменным магнитным полем.

Рассуждая подобным образом, Максвелл пришел к выводу, что

магнитное поле, в свою очередь, порождается не только током, но

187

и переменным электрическим полем. Он «поправил» теорему о

циркуляции (3.109) следующим образом:

d

d .

d

D

i

i

H I

t

    

 

  (3.143)

Величина dD n

S

    D S представляет собой поток вектора элек-

трического смещения

D

через поверхность S, ограниченную кон-

туром  .

Величина d /d D   t есть скорость изменения этого потока, ко-

торую Максвелл назвал током смещения:

см

d d d .

d d

D

n

S

I D S

t t

   

(3.144)

Уравнение (3.143) можно записать в виде:

см d . i

i

H I I     

 

  (3.145)

Таким образом, циркуляция вектора напряженности магнит-

ного поля

H по некоторому контуру равна алгебраической сумме

макроскопических токов и тока смещения, охватываемых конту-

ром.

Ток смещения – воображаемый ток. Это удобная модель явле-

ния, поскольку мы привыкли к тому, что магнитные поля создаются

движущимися зарядами или токами. Нам проще считать, что ис-

точником некоторого дополнительного магнитного поля является

не переменное электрическое поле, а некоторый ток смещения, до-

полнительный к обычным токам проводимости. Итак, теперь мы

можем сказать, что в присутствии переменных электрических полей

текут токи смещения, которые порождают магнитное поле наряду

с токами проводимости.

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать еди-

ную теорию электрических и магнитных явлений. Эта теория объ-

яснила все известные в то время экспериментальные факты и пред-

сказала ряд новых явлений, существование которых подтвердилось

впоследствии.

Основу теории образуют четыре уравнения Максвелла. В уче-

нии об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль,

188

как законы Ньютона в механике или основные законы (начала)

в термодинамике.

Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (3.142)

и (3.102):

d d d

d n

S

E B S

t

    

 

  , d 0. n

S

 B S 

Первое из этих уравнений связывает значения

E

с изменения-

ми вектора

B

во времени и является, по существу, выражением за-

кона электромагнитной индукции. Второе уравнение указывает на

отсутствие источников магнитного поля, т.е. магнитных зарядов.

Вторую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (3.143)

и (3.39):

d d d

i d n

i S

H I DS

t

    

 

  , d . n

S

 D S q

Первое уравнение устанавливает связь между токами проводи-

мости и смещения и порождаемым ими магнитным полем. Второе

уравнение показывает, что источниками вектора

D

служат сторон-

ние заряды.

Отметим, что в первую пару уравнений входят только основ-

ные характеристики поля:

E

и

B

. Во второй же паре фигурируют

только вспомогательные величины:

D

и

H

.

Для описания полей в изотропных средах к системе нужно до-

бавить уравнения связи между векторами

E

и

D

,

B

и

H

(см.

(3.37) и (3.113)):

0   

 

D E, 0   

 

B H .

Существование взаимосвязи между электрическим и магнит-

ным полями указывает на то, что раздельное рассмотрение элек-

трического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл.

Действительно, чисто электрическое поле создается системой не-

подвижных зарядов. Однако если заряды неподвижны относитель-

но некоторой инерциальной системы отсчета, то относительно дру-

гих инерциальных систем эти заряды движутся и, следовательно,

порождают не только электрическое, но и магнитное поле. Непод-

вижный провод с постоянным током создает постоянное магнитное

поле. Однако относительно других инерциальных систем этот про-

вод движется. Поэтому создаваемое им магнитное поле в любой

189

точке будет изменяться и, следовательно, порождать вихревое элек-

трическое поле. Таким образом, поле, которое относительно неко-

торой системы отсчета оказывается чисто электрическим или чисто

магнитным, относительно других систем отсчета представляет со-

бой совокупность электрического и магнитного полей, образующих

единое электромагнитное поле.

Одним из самых важных выводов, вытекающих из системы урав-

нений Максвелла, является вывод о возможности существования маг-

нитного и электрического полей, не связанных с какими-то матери-

альными источниками – зарядами. Электрическое и магнитное поля,

порождая друг друга, могут распространяться в пространстве. Распро-

странение электромагнитного возмущения называется электромаг-

нитной волной. Радиоволны, видимый свет, инфракрасное, ультра-

фиолетовое, рентгеновское излучения, -излучение – все эти явления

представляют собой электромагнитные волны, отличающиеся часто-

тами колебаний полей и длинами волн. Скорость распространения

электромагнитных волн в вакууме (скорость света) c = 3108 м/с. Она

выражается через электрическую и магнитную постоянные (что само

по себе указывает на электромагнитную природу света):

0 0

с  1 .

 

(3.146)

Примеры решения задач

№ 1. Два бесконечно длинных прямых

провода скрещены под прямым углом. По про-

водам текут токи 80 А и 60 А. Расстояние меж-

ду проводами равно 10 см. Определите магнитную индукцию в точ-

ке А, одинаково удаленной от обоих проводников.

Д а н о: I1 = 80 А, I2 = 60 А; d = 0,1 м.

Р е ш е н и е. Согласно принципу

суперпозиции полей проводники созда-

ют в точке А магнитные поля, которые

определяются векторами 1

В

и 2

В

соот-

ветственно, а суммарное поле характе-

ризуется вектором : B

1 2  

  

В В В  2 2

1 2В  В  В .

190

Поле бесконечного проводника с током определяется по фор-

муле

0 μ

B  I

r

, где

2

r  d , μ0 = 4·10–7 Гн/м.

Тогда 0 1

1 μ ;

π

B I

d

 0 2

2

μ

π

B  I

d

7

0 2 2 4

1 2

μ 4π 10 6400 3600 4 10 Тл 0,4 мТл.

π π0,1

B I I

d

  

     

№ 2. Электрон в однородном магнитном поле с индукцией

В = 0,1 Тл движется по окружности. Найдите силу I эквивалентного

кругового тока, создаваемого движением электрона.

Д а н о: В = 0,1 Тл, me = 9,1·10–31 кг, qe = 1,6·10–19 Кл.

Р е ш е н и е. По определению сила тока I  q

t

. Если за q взять

заряд электрона qe, то время t равно периоду вращения Т.

Применим второй закон Ньютона для

электрона:

Л , е n m a  F

где n a ‒ центростремительное (нормальное)

ускорение,

2

; n a

r

 v Л F ‒ сила Лоренца,

Л sin α. e F  q Bv Тогда

2

, e e m qB

r

v  v или  e e m v q B

r

.

Подставив в эту формулу  2πr

T

v , получим:

2π  e e

m r q B

rT

  2π e

e

T m

q B

.

Теперь находим силу тока:

2 2 38

9

31

(1,6) 10 0,1 0,448 10 0,448 нА.

2π 2π 9,1 10

 

     

 

e e

e

I q q B

T m

№ 3. Круглая рамка с током (S = 15 см2) расположена парал-

лельно магнитному полю (В = 0,1 Тл), и на нее действует вращаю-

v

191

щий момент М = 0,45 мН·м. Определите силу тока, текущего по

рамке.

Д а н о: S = 1,5·10‒3 м2; В = 0,1 Тл; М = 0,45·10‒3 Н·м; α = 90°.

Р е ш е н и е. Вращающий

момент, действующий на рамку

со стороны поля, определяется

формулой

M = pm·B·sinα,

где α ‒ угол между вектором

индукции поля

B

и положительной нормалью n к рамке; pm ‒ мо-

дуль магнитного момента, pm = IS. Тогда

М = ISВ 

–3

–3

0,45 10 3 .

1,5 10 0,1

  

 

I M А

SB

№ 4. Определите циркуляцию вектора маг-

нитной индукции для замкнутого контура, изо-

браженного на рисунке, если сила тока в про-

водниках: I1 = 2 А, I2 = 4 А, I3 = 6 А.

Р е ш е н и е. По теореме о циркуляции вектора магнитной индук-

ции

0 d ,

N

i

i

B I     

 

 

где N = 3. Направление обхода контура показано на рисунке. Тогда

7 5

0 1 2 3 d ( ) 4π 10 8 10 Тл м. B I I I             

 

 

№ 5. Замкнутая квадратная рамка

из гибкой проволоки расположена

в магнитном поле с индукцией 0,1 Тл,

силовые линии которого направлены

перпендикулярно к плоскости рамки.

Какой заряд протечет в рамке, если, не меняя расположения рамки,

придать ей форму окружности? Длина проволоки 1 м, ее сопротив-

ление 100 Ом.

Д а н о: В = 0,1 Тл; ℓ = 1 м; R = 100 Ом.

Р е ш е н и е. Магнитный поток, пронизывающий рамку,

Φ = B·S·cosα,

192

где α ‒ угол между индукцией

B

и нормалью к рамке n .

Любое изменение магнитного потока приводит к возникнове-

нию в рамке ЭДС индукции d .

i dt

õ   В нашем случае магнитный

поток меняется вследствие изменения площади рамки S.

Площадь квадратной рамки

2 2

кв .

4 16

S    

 

 

Поскольку длина окружности   2π r, то

r   . Тогда пло-

щадь круглой рамки

2 2

2

кр π π

2π 4π

S  r     .

 

 

Согласно закону Фарадея кр кв ( )

. i

B S S

t t

 

 

 

õ

По закону Ома I i .

R

 õ Подставим

I q

t

. Получим:

i q

t R

õ или кр кв ( )

.

q B S S

t Rt

 

 

Отсюда

2 2 2

1 1 0,1 1 1 1 17,1 10 6 Кл.

4π 16 4 π 4 4 100 3,14 4

q B B

R R

                             

  

№ 6. Индуктивность катушки равна 2 мГн. Ток частотой 50 Гц,

протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону.

Определите среднюю ЭДС самоиндукции, возникающую за интер-

вал времени, в течение которого ток в катушке изменяется от нуле-

вого до максимального значения. Амплитудное значение силы тока

10 А.

Д а н о: L = 2·10‒3 Гн, ν = 50 Гц, I0 = 10 А.

Р е ш е н и е. Закон изменения тока:

I = I0 sinωt, или I = I0 sin(2νt).

Предположим, что I = 0 А при t = 0 с, тогда I = 10 sin(100t).

ЭДС самоиндукции определяется по формуле:

193

3

0

d ωcos ω 2 10 10 100π cos(100π )

i d

L I LI t t

t

õ            

 2π cos(100πt).

От нулевого до максимального (I = 10 А) ток меняется за время

1

4

t  T , где T – период колебаний тока, 1 .

ν

T  Отсюда

t  1 .

Находим среднее значение ЭДС (знак «‒» у ЭДС опускаем):

0

0 0

1 ( )d 1 cos(ω )d ,

t t

i it t I L t t

t t

 

    

  õ  õ 

0 2

0 0

ω sin(ω ) 2πν 4ν sin 2πν 1 8πν sin π ,

i 4ν 2

I L t IL IL

t

                      

õ

2 3

0 8πν 8π 2500 10 2 10 400π 1256 В. i õ   I L        

№ 7. На железное кольцо намотано в один слой 200 витков про-

вода. Определите энергию W магнитного поля, если при токе 2,5 А

магнитный поток через сечение железного сердечника равен 0,5 мВб.

Д а н о: N = 200; I = 2,5 А; Ф = 0,5·10‒3 Вб.

Р е ш е н и е. При намотке провода на кольцо получаем тороид.

Энергия магнитного поля

2

2

W  LI , где L – индуктивность тороида.

С одной стороны, полный магнитный поток (потокосцепление) то-

роида   N  , с другой стороны,   L I . Поэтому NΦ = LI, отку-

да L N .

I

 Тогда

2 2 200 0,5 10 3 2,5 0,125 Дж.