3.4. Электромагнитные колебания и волны

3.4.1. Колебательный контур

Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей

индуктивность и емкость. Такая цепь называется колебательным

контуром. На рис. 3.37, а изображены последовательные стадии ко-

лебательного процесса в идеализированном контуре с электриче-

ским сопротивлением, равным нулю.

194

1 2 3 4 5

a)

б)

I I

+q

- q

+q

+q - q

- q

C

W q

2

2



2

L I 2

C

q

2

2

C

q

2

2

2

LI 2

2

kx2 W 

2

kx 2

2

kx 2

2

mv2

2

mv2

Рис. 3.37

Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить от-

ключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока,

вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды ве-

личиной qm (позиция 1 на рис. 3.37, а). Между обкладками возник-

нет электрическое поле, энергия которого равна q2 / (2C) (см.

(3.57)). Если затем отключить источник тока и замкнуть конденса-

тор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре по-

течет ток. В результате энергия электрического поля будет умень-

шаться, но возникнет все возрастающая энергия магнитного поля,

обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия

равна LI 2 2 (см. (3.134)).

Поскольку сопротивление цепи равно нулю, полная энергия,

складывающаяся из энергии электрического поля и энергии магнитно-

го поля, не расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной.

Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следователь-

но, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия маг-

нитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (пози-

ция 2; начиная с этого момента ток течет за счет ЭДС самоиндукции).

В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках достиг-

нут первоначальной величины qm, сила тока становится равной нулю

(позиция 3). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (по-

зиции 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состоя-

ние (позиция 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе опи-

б)

а)

195

санного процесса периодически изменяются (т.е. колеблются) заряд q

на обкладках, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего

через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными пре-

вращениями энергий электрического и магнитного полей.

На рис. 3.37, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания

пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсато-

ра соответствует выведение маятника внешней силой из положения

равновесия и сообщение ему первоначального отклонения xm. При

этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пру-

жины, равная 2 / 2 m kx (см. (1.94)). Позиция 2 соответствует прохож-

дению маятника через положение равновесия. В этот момент квази-

упругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инер-

ции. К этому времени энергия маятника полностью переходит

в кинетическую mv2 / 2 .

Из сопоставления электрических и механических колебаний сле-

дует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной

энергии упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична

кинетической энергии. Индуктивность L играет роль массы, а величи-

на, обратная емкости (1/С) – роль коэффициента жесткости k. Нако-

нец, заряду q соответствует смещение маятника из положения равно-

весия х, а силе тока I – скорость v. Как мы увидим ниже, аналогия

между электрическими и механическими колебаниями распространя-

ется и на описывающие их математические уравнения.

Найдем уравнение колебаний в контуре без сопротивления.

Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор

(рис. 3.38).

Тогда

d .

d

I q

t

 (3.147)

Поскольку сопротивление R конту-

ра равно нулю, падения напряжения на

соединительных проводах нет, и напря-

жение на конденсаторе 1 – 2 = q/С в

каждый момент времени равно ЭДС самоиндукции õs = –L dI/dt. Сле-

довательно,

d .

d

q L I

C t

  (3.148)

Рис. 3.38

196

Для изображенной на рис. 3.38 стадии процесса зарядки кон-

денсатора напряжение 1 – 2 положительно, а dI/dt отрицательно

(ток уменьшается). Поэтому справа в уравнении (3.148) стоит знак

«минус».

Сделав замену

2

2

d d

d d

I q

t t

 в уравнении (3.148) и произведя про-

стые преобразования, придем к дифференциальному уравнению

2

2

d 1 0.

d

q q

t LC

  (3.149)

Получилось уравнение вида (1.92) относительно заряда кон-

денсатора q. Следовательно, заряд на обкладках конденсатора из-

меняется (колеблется) по гармоническому закону:

q  qm cos(0t  ), (3.150)

с амплитудой m q и циклической частотой

0

1 .

LC

  (3.151)

Эта частота называется собственной частотой контура. Для

периода колебаний получается формула Томсона:

T  2 LC. (3.152)

Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С:

0 0 m cos( ) cos( ).

m

U q t U t

C

      (3.153)

Продифференцировав функцию (3.150) по времени, получим

выражение для силы тока:

0 0 0 sin( ) cos( / 2). m m I  q   t    I  t     (3.154)

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на

конденсаторе на /2.

Из формул (3.153) и (3.154) следуют выражения для амплитуд

колебаний напряжения на конденсаторе и силы тока:

 m

m

U q

C

, 0   m m I q .

197

Взяв отношение этих амплитуд и заменив 0 по формуле

(3.151), получим соотношение

m .

m

U L

I C

 (3.155)

К этой формуле можно прийти также исходя из того, что наи-

большее значение энергии электрического поля 2 / 2 m CU равно наи-

большему значению энергий магнитного поля 2 / 2 m LI .

3.4.2. Свободные затухающие колебания

Всякий реальный контур обладает сопротивлением (рис. 3.39).

Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом со-

противлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания

затухают. В этом случае ЭДС самоиндукции в каждый момент вре-

мени равна сумме напряжения на конденсаторе и напряжения на

сопротивлении, равного IR:

d .

d

q IR L I

C t

  (3.156)

Введя обозначение

2  R ,

L

(3.157)

с учетом (3.151) уравнение (3.156) запи-

шем в виде

2

2

2 0

d 2 d 0.

d d

q q q

t t

    (3.158)

С математической точки зрения уравнение (3.158) тождест-

венно с уравнением (1.126). Из сопоставления формул (3.157)

и (1.125) следует, что электрическое сопротивление R играет роль

коэффициента сопротивления среды r.

В случае, когда  < 0, решение уравнения (3.158) имеет вид

0 з q  q et cos( t  ). (3.159)

Здесь начальные амплитуда q0 и фаза  определяются из на-

чальных условий, а циклическая частота затухающих колебаний

2

2 2

з 0 2

1 .

4

R

LC L

      (3.160)

+q

R

I 1

-q

2

L

Рис. 3.39

198

График функции (3.159) изо-

бражен на рис. 3.40.

Логарифмический декремент за-

тухания (см. (1.134))

з з

2 .

2

 

    

 

T R R

L L

(3.161)

Добротность контура (см. (1.136))

Q L з .

R

 

 



(3.162)

3.4.3. Вынужденные электромагнитные колебания.

Полная цепь переменного тока

Чтобы вызвать вынужденные электромагнитные колебания,

нужно, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты пере-

менное напряжение (рис. 3.41):

0 U U cost. (3.163)

Рис. 3.41

Это напряжение нужно добавить к ЭДС самоиндукции.

В результате соотношение (3.156) примет вид:

0

d cos ,

d

q IR L I U t

C t

    или 0

d cos .

d

q IR L I U t

C t

    (3.164)

Отношение q / C есть напряжение UC на конденсаторе, произ-

ведение IR равно напряжению UR на сопротивлении, выражение

LdI / dt определяет напряжение UL на индуктивности. Поэтому

можно написать:

0 cos . C R L U U U U t (3.165)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах

контура равна в каждый момент времени напряжению, приложен-

ному извне (см. рис. 3.41).

t

q

0

q0 q0exp(-t)

Рис. 3.40

199

С учетом введенных ранее обозначений (3.151) и (3.157) урав-

нение (3.164) перепишем в виде:

2

2 0

2 0

d 2 d cos .

d d

q q q U t

t t L

     (3.166)

Это неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференци-

альное уравнение второго порядка с постоянными коэффициента-

ми. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее

решение неоднородного уравнения (3.166) равно сумме общего ре-

шения (3.159) однородного уравнения (3.158), соответствующего

данному неоднородному, и частного решения данного неоднород-

ного уравнения (которое можно найти по виду правой части):

sin( ) cos( / 2). m m q  q t   q t    (3.167)

Амплитуду заряда qm и отставание по фазе  можно найти, не-

посредственно подставляя частное решение (3.167) в уравнение

(3.166), откуда:

0 0

2 22 2 2 2 2

0

/ ,

( ) 4 ( 1/( )) m

q U L U

R L C

 

          

(3.168)

2 2

0 tg 1/ ( ) .

2

L C

R

     

  

 

(3.169)

Общее решение уравнения (3.166), описывающее изменение

заряда конденсатора при вынужденных колебаниях,

t

0 з e cos( ) cos( /2). m q  q   t    q t   

Первое слагаемое в этом уравнении играет заметную роль

только в начальной стадии процесса, при так называемом установ-

лении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального

множителя et роль этого слагаемого уменьшается, и по прошест-

вии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь

второе слагаемое.

Таким образом, функция (3.167) описывает установившиеся

вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические

колебания с частотой, равной частоте подаваемого напряжения.

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в

контуре меняется по следующему закону:

0

d cos( ),

d

I q I t

t

    (3.170)

200

где амплитуда тока

 

0

0 2 2

.

1/ ( )

m

I q U

R L C

 

   

(3.171)

Ток отстает от внешнего напряжения по фазе на угол , опре-

деляемый соотношением (3.169).

Установившиеся вынужденные электрические колебания мож-

но рассматривать как протекание переменного тока в полной цепи,

обладающей емкостью, индуктивностью и сопротивлением.

Полученное выражение для амплитуды силы тока (3.171) мож-

но формально толковать как закон Ома для амплитудных значений

тока и внешнего напряжения. Стоящую в знаменателе этого выра-

жения величину, имеющую размерность сопротивления, обознача-

ют буквой Z и называют полным сопротивлением цепи переменного

тока или импедансом:

0

0 I  U ,

Z

(3.172)

Z  R2  (L 1/ (C))2 . (3.173)

Величину, стоящую в круглых скобках этого выражения, обо-

значают X и называют реактивным сопротивлением:

X  L 1/ (C). (3.174)

При этом величину L называют индуктивным сопротивлени-

ем, а величину 1/(C) – емкостным сопротивлением. Их обознача-

ют соответственно XL и XC. Сопротивление R в этом случае назы-

вают активным сопротивлением цепи. Термин «активное сопро-

тивление» используется в том смысле, что именно на этом

сопротивлении рассеивается энергия в виде тепла.

Итак,

XL = L, XC = 1/(C), X = XL – XC, Z  R2  X 2 . (3.175)

Найдем напряжения на отдельных элементах контура:

cos cos ,

2 2

m

C Cm

U q q t U t

C C

                

   

(3.176)

0 cos( ) cos( ), R Rm U  IR  I R t   U t   (3.177)

201

0

d sin( ) cos .

L d Lm 2

U L I LI t U t

t

             

 

(3.178)

Из формул (3.176)–(3.178) видно, что UR

находится в фазе с током I (3.170), UC отстает

по фазе от I на /2, а UL опережает I на /2. Все

это можно наглядно представить с помощью

векторной диаграммы (см. подразд. 1.3), изо-

бразив амплитуды напряжений и их вектор-

ную сумму, равную согласно (3.165) вектору

внешнего напряжения (рис. 3.42).

Резонансную частоту для заряда q и на-

пряжения UC на конденсаторе можно найти

аналогично резонансной частоте (1.142) для смещения при механи-

ческих колебаниях, исследовав функцию (3.168) на максимум:

2

2 2

рез рез 0 2 0

2 1 .

2

          

q UC

R

LC L

(3.179)

Резонансные кривые для UC изображены на рис. 3.43, а (резо-

нансные кривые для q имеют точно такой же вид). Резонансные кри-

вые для силы тока изображены на рис. 3.43, б. Амплитуда силы тока

(3.171) имеет максимальное значение при X  L1 (C)  0, откуда

рез 0  1   . I LC (3.180)

0



1< < 2 3

рез

UCm I0



R1<R2<R3

U 0

a) б) 0

а б

Рис. 3.43

Разности потенциалов на индуктивности и емкости имеют при

резонансе тока одинаковые амплитуды и противоположные фазы,

так что их сумма обращается в нуль, а напряжение на активном со-

противлении оказывается равным ЭДС источника энергии.

UU Rm Cm

ULm

U0



Рис. 3.42

U Ст

0

I 0

202

На описанном явлении основаны все радиоприемные устройст-

ва, неотъемлемой частью которых является колебательный контур с

изменяемой резонансной частотой.

3.4.4. Мощность в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно

произведению мгновенных значений напряжения (3.163) и силы то-

ка (3.170):

P(t) U(t)I (t) U0 cos t I0 cos(t ),

где  определяется соотношением (3.169):

tg L 1/ ( C) X ,

R R

  

  

откуда можно получить

cos R .

Z

  (3.181)

Воспользовавшись формулой

cos cos 1 cos( ) 1 cos( ),

2 2

         

выражению для мгновенной мощности можно придать вид:

0 0 0 0

( ) 1 cos 1 cos(2 ).

2 2

P t  U I  U I t  

Практический интерес представляет среднее по времени значе-

ние P(t), которое мы просто обозначим P. Поскольку среднее зна-

чение cos(2t – ) равно нулю, то

0 0

1 cos .

2

P  U I  (3.182)

Если ток в цепи не совершает механической работы, средняя

мощность выделяется в активном сопротивлении в виде тепла.

Подставив значение cos  из (3.181) в (3.182) с учетом (3.172),

получим:

2

0 .

2

P  RI (3.183)

203

Такую же мощность развивает постоянный ток, сила которого

0

эф .

2

I  I (3.184)

Величина Iэф называется действующим (эффективным) значе-

нием силы тока. Аналогично величина

0

эф 2

U  U (3.185)

называется действующим (эффективным) значением напряжения.

Действующим (эффективным) значением переменного тока

называется такое значение постоянного тока, при котором на ак-

тивном сопротивлении выделяется за период такое же количество

теплоты, как и при переменном токе. Аналогично определяется

и действующее (эффективное) значение напряжения.

Например, стандартное напряжение в сети 220 В – это эффек-

тивное напряжение. По формуле (3.185) легко рассчитать, что ам-

плитудное значение напряжения в этом случае будет равно 311 В.

С использованием действующих значений формуле (3.182) для

средней мощности можно придать вид

эф эф P U I cos. (3.186)

В выражение для мощности входит множитель cos , опреде-

ляемый по формуле (3.181), который называют коэффициентом

мощности. В технике стремятся сделать cos  как можно больше.

При малом cos  для выделения в цепи необходимой мощности

нужно пропускать ток большей силы. При этом возрастают потери

в подводящих проводах, и приходится увеличивать их сечение.

На практике устанавливается предельно допустимое значение

cos для предприятия, при достижении которого возможно отклю-

чение его от внешней сети (например, при cos ~ 0,85). Для повы-

шения cos необходимо, как видно из векторной диаграммы (см.

рис. 3.42), уравнять амплитудные значения напряжения на емкости

и индуктивности электрической цепи. Это может потребовать зна-

чительных капитальных вложений на переоборудование станочного

парка на предприятии, изменение технологии. Быстро повысить

cos  можно, увеличивая (см. (3.181)) активное сопротивление,

подключая нагревательные элементы и осветительное оборудова-

204

ние. Вот почему иногда можно наблюдать картину включения ос-

вещения на территории предприятий в дневное время в условиях

достаточной видимости.

3.4.5. Электромагнитные волны

Мы знаем, что переменные электрическое и магнитное поля

взаимно порождают друг друга: переменное магнитное поле поро-

ждает электрическое (см. уравнение (3.142)), переменное электри-

ческое поле порождает магнитное (см. уравнение (3.143)). Таким

образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов пере-

менное электромагнитное поле, то в окружающем заряды простран-

стве возникает последовательность взаимных превращений элек-

трического и магнитного полей, распространяющихся от точки

к точке. Этот процесс периодический во времени и в пространстве

и, следовательно, представляет собой волну.

Из уравнений Максвелла можно получить для векторов напря-

женностей электрического E



и магнитного H



полей так называе-

мые волновые уравнения (связанные друг с другом), которые в од-

номерном случае имеют вид:

2 2

2 0 0 2

2 2

2 0 0 2

,

.

 

      

  

      

 

 

E E

x t

H H

x t

(3.187)

Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению,

представляет собой волну, причем корень квадратный из величины,

обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазо-

вую скорость этой волны:

0 0

 1  c ,

  

v (3.188)

где 8

0 0 c 1    310 м/с – скорость электромагнитных волн в ва-

кууме.

Поэтому Максвелл еще задолго до экспериментального под-

тверждения существования электромагнитных волн высказал гипо-

тезу, что свет – это электромагнитные волны. Впервые эксперимен-

тально доказал существование электромагнитных волн Г. Герц

в 1888 г., спустя 9 лет после смерти Максвелла.

205

Простейшими решениями уравнений (3.187) являются функции

(уравнения плоской волны):

cos( ),

cos( ),

     



     

 

 m

m

E E t kx

H H t kx

(3.189)

где циклическая частота волны  = 2, волновое число

k   / v  2 /  ,  – длина волны. Шкала электромагнитных волн,

где представлено (в упрощенном виде) условное разбиение по дли-

нам волн на диапазоны радиоволн, световых волн, рентгеновского

и гамма-излучения, имеет следующий вид:

Радиоволны Световые волны R-излучение -излучение

103–10–4 м 10–4–10–9 м 10–9–610–12 м < 610–12 м

Колебания векторов E



и H



происходят с одинаковой фазой,

а амплитуды этих векторов связаны соотношением:

0 0   , m m E H (3.190)

т.е. по одному вектору однозначно определяется другой.

На рис. 3.44 представлено

графическое изображение элек-

тромагнитной волны, описы-

ваемой уравнениями (3.189).

Электромагнитные волны – по-

перечные волны: векторы

E

и

H

поля волны лежат в плоско-

сти, перпендикулярной направлению распространения волны. Кро-

ме того, векторы

E

и

H

поля волны взаимно перпендикулярны,

так что вектор скорости волны v и векторы

E

и

H

образуют пра-

вую тройку. В фиксированной точке пространства векторы

E

и

H

изменяются со временем по гармоническому закону. Они одновре-

менно увеличиваются от нуля, затем через 1/4 периода достигают

наибольшего значения, причем если

E

направлен вверх, то

H

на-

правлен вправо (смотрим вдоль направления распространения вол-

ны). Еще через 1/4 периода оба вектора одновременно обращаются

в нуль. Затем опять достигают наибольшего значения, но на этот

раз вектор

E

направлен вниз, а

H

– влево. И, наконец, по заверше-

нии периода колебания векторы снова обращаются в нуль. Такие

x

E

H

y

z

v

Рис. 3.44

206

изменения векторов

E

и

H

происходят во всех точках пространст-

ва, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точ-

ками, отсчитанными вдоль оси x.

Распространение всякой волны связано с переносом энергии.

Электромагнитные волны также переносят энергию. Плотность по-

тока энергии можно получить, умножив плотность энергии w на

скорость v (см. формулу (1.164)). В случае электромагнитных волн

вектор плотности потока энергии принято обозначать буквой



S .

Следовательно, модуль вектора



S

S = w v. (3.191)

Плотность энергии электромагнитного поля слагается из плот-

ностей энергии электрического (3.58) и магнитного (3.136) полей:

2 2

0 0 .

2 2

   

     

E H

E H w w w (3.192)

В вакууме и в непроводящей среде векторы

E

и

H

изменяются

в каждой точке пространства в одинаковой фазе. Поэтому соотноше-

ние (3.190) между амплитудами напряженностей электрического

и магнитного полей справедливо и для их мгновенных значений.

Отсюда следует, что плотность энергии электрического и маг-

нитного полей в каждый момент времени одинакова:   

E H w w . По-

этому можно написать, что 2

0 2 . E     

E w w Воспользовавшись

тем, что 0 0 E   H  , выражению для плотности энергии элек-

тромагнитной волны можно придать следующий вид:

0 0 w     EH  EH ,

v

а выражению для плотности потока энергии – такой вид:

S  wv  EH.

Векторы

E

и

H

взаимно перпендику-

лярны и образуют с направлением распро-

странения волны правовинтовую систему

(рис. 3.45). Поэтому направление вектора



 

E H совпадает с направлением переноса

энергии, а модуль этого вектора равен ЕН.

H

E

v

Рис. 3.45

207

Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии

можно представить как векторное произведение

E

и

H

:

   .

    S wv E H (3.193)

Вектор



S называется вектором Пойнтинга. Поскольку векто-

ры

E

и

H

изменяются со временем по закону косинуса, модуль

вектора Пойнтинга в каждой точке изменяется по закону квадрата

косинуса. Среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2.

Поэтому среднее значение плотности потока энергии – интенсив-

ности волны

.

2

 m m J E H (3.194)

Поглощаясь в каком-либо теле, электромагнитная волна сооб-

щает этому телу некоторый импульс, т. е. оказывает на него давле-

ние. Соответствующий расчет показывает, что в случае идеально

поглощающей поверхности давление электромагнитной волны рав-

но ее объемной плотности энергии: p = w. Эта величина пульсирует

с очень большой частотой. Поэтому практически может быть изме-

рено ее среднее по времени значение. Таким образом,

p  w  . (3.195)

Для идеально отражающей поверхности давление будет в два

раза больше.

Световое давление было измерено П.Н. Лебедевым. Результаты

измерений оказались в полном согласии с теорией Максвелла.

Примеры решения задач

№ 1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и

двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Период

собственных колебаний контура Т1 = 20 мкс. Чему будет равен период

колебаний Т2, если конденсаторы включить последовательно?

Р е ш е н и е. Период колебаний в колеба-

тельном контуре T  2π LC , где С – общая ем-

кость батареи конденсаторов.

В первом случае:

С = С1 + С2 = 2С1 

1 1 1 T  2π L2C  2 2π LC .

208

Во втором случае:

1 2

1 2 1 2

1 1 1 

   С С

С С С СС



2

1 2 1 1

1 2 1

.

2 2

  



С С С С С

С С С

Тогда

1

2 1 2 π 2 π

2

T   LС   LС  2 1

1 1

2 π 1

2 2π 2



 



Т LC

Т LC



 2 1

1 10 мкс.

2

Т  Т 

№ 2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивно-

стью 0,1 Гн и конденсатора емкостью 40 мкФ. Максимальный заряд

конденсатора 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, запи-

шите закон изменения силы тока в зависимости от времени.

Д а н о: L = 0,1 Гн, С = 40 мкФ, qm = 3 мкКл.

Р е ш е н и е. Предположим, что конденсатор имеет макси-

мальный заряд в начальный момент времени. В этом случае закон

изменения заряда удобно записать в виде

q = qm cosωt,

где 6 3

ω 1 1 1 500 рад .

0,1 40 10 2 10 с  

   

LC   

Закон изменения тока:

d ωsin ω

d m

I q q t.

t

 

Найдем амплитуду тока:

Im = qmω = 3·10‒6·500 = 1,5·10‒3 А.

Подставим ее в закон изменения тока и в результате получим

(мА): I = ‒1,5·sin500t.

№ 3. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в коле-

бательном контуре изменяется по закону U = 50·cos(104π·t). Емкость

конденсатора С = 0,9 мкФ. Найдите индуктивность контура, а так-

же длину волны, соответствующую этому контуру.

Р е ш е н и е. Из закона изменения разности потенциалов

ω = 104π. По определению ω  1

LC

. Отсюда

2

1

ω

L

C

 3

8 2 6

1 1,13 10 Гн.

10 π 10



   

 

209

Длина волны, излучаемой контуром, λ 2π

ν ω

 с  с , где с – ско-

рость электромагнитной волны (скорость света) в вакууме, с =

= 3·108 м/с. Тогда

8

4

4

λ 2π 3 10 6 10 м 60км.

10 π

 

   

№ 4. Электромагнитная волна частотой  = 3 МГц переходит из

вакуума в диэлектрик с проницаемостью  = 4. Насколько изменит-

ся длина волны?

Р е ш е н и е. При переходе из вакуума в диэлектрик меняется

скорость электромагнитной волны:

,

ε

v  c

где v – скорость волны в диэлектрике; с – скорость волны в вакуу-

ме, с = 3·108 м/с.

Длина волны в вакууме 0 λ ,

ν

 c длина волны в диэлектрике

λ .

ν ν ε

 v  c Отсюда изменение длины волны

8

0 6

Δλ λ λ 1 1 3 10 1 1 50 м.

ν ε 3 10 2

   c                  

№ 5. В вакууме распространяется плоская электромагнитная

волна. Поверхность площадью 50 см2 перпендикулярна скорости

волны. За 2 с через поверхность переносится энергия 10 мкДж.

Найдите интенсивность волны.

Д а н о: S = 5·10‒3; t = 2 с; W = 10‒5 Дж.

Р е ш е н и е. Интенсивностью волны называется среднее зна-

чение энергии, переносимой волной за единицу времени через еди-

ницу поверхности (см. подразд. 1.3.6). Поэтому интенсивность

электромагнитной волны

5

3

4 2

10 10 Дж .