ЛенЭлектроЩит

Производство электрощитового оборудования

Меню

Кабель и провод
Арматура кабельная
Низковольтное оборудование
Светильники
Лампы
Розетки, выключатели
Электрощитовое оборудование
ГРЩ
ВРУ
АВР
ЩУН
Я5000
Комплектующие
Распределительные щиты Prisma
Автоматический выключатель.
Шкафы FORT на 4000А
Автоматические выключатели Tmax
Выключатели нагрузки
Контакторы
Шина
Реле температуры на микроконтроллерах
Блок АВР
АВДТ ABB DS800 на 125 А
Статьи
Энергия
Нетрадиционная энергетика
Традиционная энергия
Электротехника
Трансформаторы
Электродвигатели
Электропривод
Электростанции
Техническая информация
Энергоснабжение потребителей
Охрана труда
Трансформаторы
Система автоматического запуска генератора
Двигатели
Пускатели
Учет
Испытания
Электрическая нагрузка. Виды электрических нагрузок.
Основные этапы производства электромонтажных работ
Организация и производство электромонтажных работ
Обучение
Физика
Электротехника

3.4. Электромагнитные колебания и волны

3.4.1. Колебательный контур

Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей

индуктивность и емкость. Такая цепь называется колебательным

контуром. На рис. 3.37, а изображены последовательные стадии ко-

лебательного процесса в идеализированном контуре с электриче-

ским сопротивлением, равным нулю.

194

1 2 3 4 5

a)

б)

I I

+q

- q

+q

+q - q

- q

C

W q

2

2

2

L I 2

C

q

2

2

C

q

2

2

2

LI 2

2

kx2 W 

2

kx 2

2

kx 2

2

mv2

2

mv2

Рис. 3.37

Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить от-

ключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока,

вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды ве-

личиной qm (позиция 1 на рис. 3.37, а). Между обкладками возник-

нет электрическое поле, энергия которого равна q2 / (2C) (см.

(3.57)). Если затем отключить источник тока и замкнуть конденса-

тор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре по-

течет ток. В результате энергия электрического поля будет умень-

шаться, но возникнет все возрастающая энергия магнитного поля,

обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия

равна LI 2 2 (см. (3.134)).

Поскольку сопротивление цепи равно нулю, полная энергия,

складывающаяся из энергии электрического поля и энергии магнитно-

го поля, не расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной.

Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следователь-

но, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия маг-

нитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (пози-

ция 2; начиная с этого момента ток течет за счет ЭДС самоиндукции).

В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках достиг-

нут первоначальной величины qm, сила тока становится равной нулю

(позиция 3). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (по-

зиции 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состоя-

ние (позиция 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе опи-

б)

а)

195

санного процесса периодически изменяются (т.е. колеблются) заряд q

на обкладках, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего

через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными пре-

вращениями энергий электрического и магнитного полей.

На рис. 3.37, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания

пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсато-

ра соответствует выведение маятника внешней силой из положения

равновесия и сообщение ему первоначального отклонения xm. При

этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пру-

жины, равная 2 / 2 m kx (см. (1.94)). Позиция 2 соответствует прохож-

дению маятника через положение равновесия. В этот момент квази-

упругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инер-

ции. К этому времени энергия маятника полностью переходит

в кинетическую mv2 / 2 .

Из сопоставления электрических и механических колебаний сле-

дует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной

энергии упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична

кинетической энергии. Индуктивность L играет роль массы, а величи-

на, обратная емкости (1/С) – роль коэффициента жесткости k. Нако-

нец, заряду q соответствует смещение маятника из положения равно-

весия х, а силе тока I – скорость v. Как мы увидим ниже, аналогия

между электрическими и механическими колебаниями распространя-

ется и на описывающие их математические уравнения.

Найдем уравнение колебаний в контуре без сопротивления.

Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор

(рис. 3.38).

Тогда

d .

d

I q

t

 (3.147)

Поскольку сопротивление R конту-

ра равно нулю, падения напряжения на

соединительных проводах нет, и напря-

жение на конденсаторе 1 – 2 = q/С в

каждый момент времени равно ЭДС самоиндукции õs = –L dI/dt. Сле-

довательно,

d .

d

q L I

C t

  (3.148)

Рис. 3.38

196

Для изображенной на рис. 3.38 стадии процесса зарядки кон-

денсатора напряжение 1 – 2 положительно, а dI/dt отрицательно

(ток уменьшается). Поэтому справа в уравнении (3.148) стоит знак

«минус».

Сделав замену

2

2

d d

d d

I q

t t

 в уравнении (3.148) и произведя про-

стые преобразования, придем к дифференциальному уравнению

2

2

d 1 0.

d

q q

t LC

  (3.149)

Получилось уравнение вида (1.92) относительно заряда кон-

денсатора q. Следовательно, заряд на обкладках конденсатора из-

меняется (колеблется) по гармоническому закону:

q  qm cos(0t  ), (3.150)

с амплитудой m q и циклической частотой

0

1 .

LC

  (3.151)

Эта частота называется собственной частотой контура. Для

периода колебаний получается формула Томсона:

T  2 LC. (3.152)

Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С:

0 0 m cos( ) cos( ).

m

U q t U t

C

      (3.153)

Продифференцировав функцию (3.150) по времени, получим

выражение для силы тока:

0 0 0 sin( ) cos( / 2). m m I  q   t    I  t     (3.154)

Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на

конденсаторе на /2.

Из формул (3.153) и (3.154) следуют выражения для амплитуд

колебаний напряжения на конденсаторе и силы тока:

 m

m

U q

C

, 0   m m I q .

197

Взяв отношение этих амплитуд и заменив 0 по формуле

(3.151), получим соотношение

m .

m

U L

I C

 (3.155)

К этой формуле можно прийти также исходя из того, что наи-

большее значение энергии электрического поля 2 / 2 m CU равно наи-

большему значению энергий магнитного поля 2 / 2 m LI .

3.4.2. Свободные затухающие колебания

Всякий реальный контур обладает сопротивлением (рис. 3.39).

Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом со-

противлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания

затухают. В этом случае ЭДС самоиндукции в каждый момент вре-

мени равна сумме напряжения на конденсаторе и напряжения на

сопротивлении, равного IR:

d .

d

q IR L I

C t

  (3.156)

Введя обозначение

2  R ,

L

(3.157)

с учетом (3.151) уравнение (3.156) запи-

шем в виде

2

2

2 0

d 2 d 0.

d d

q q q

t t

    (3.158)

С математической точки зрения уравнение (3.158) тождест-

венно с уравнением (1.126). Из сопоставления формул (3.157)

и (1.125) следует, что электрическое сопротивление R играет роль

коэффициента сопротивления среды r.

В случае, когда  < 0, решение уравнения (3.158) имеет вид

0 з q  q et cos( t  ). (3.159)

Здесь начальные амплитуда q0 и фаза  определяются из на-

чальных условий, а циклическая частота затухающих колебаний

2

2 2

з 0 2

1 .

4

R

LC L

      (3.160)

+q

R

I 1

-q

2

L

Рис. 3.39

198

График функции (3.159) изо-

бражен на рис. 3.40.

Логарифмический декремент за-

тухания (см. (1.134))

з з

2 .

2

 

    

 

T R R

L L

(3.161)

Добротность контура (см. (1.136))

Q L з .

R

 

 

(3.162)

3.4.3. Вынужденные электромагнитные колебания.

Полная цепь переменного тока

Чтобы вызвать вынужденные электромагнитные колебания,

нужно, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты пере-

менное напряжение (рис. 3.41):

0 U U cost. (3.163)

Рис. 3.41

Это напряжение нужно добавить к ЭДС самоиндукции.

В результате соотношение (3.156) примет вид:

0

d cos ,

d

q IR L I U t

C t

    или 0

d cos .

d

q IR L I U t

C t

    (3.164)

Отношение q / C есть напряжение UC на конденсаторе, произ-

ведение IR равно напряжению UR на сопротивлении, выражение

LdI / dt определяет напряжение UL на индуктивности. Поэтому

можно написать:

0 cos . C R L U U U U t (3.165)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах

контура равна в каждый момент времени напряжению, приложен-

ному извне (см. рис. 3.41).

t

q

0

q0 q0exp(-t)

Рис. 3.40

199

С учетом введенных ранее обозначений (3.151) и (3.157) урав-

нение (3.164) перепишем в виде:

2

2 0

2 0

d 2 d cos .

d d

q q q U t

t t L

     (3.166)

Это неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференци-

альное уравнение второго порядка с постоянными коэффициента-

ми. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее

решение неоднородного уравнения (3.166) равно сумме общего ре-

шения (3.159) однородного уравнения (3.158), соответствующего

данному неоднородному, и частного решения данного неоднород-

ного уравнения (которое можно найти по виду правой части):

sin( ) cos( / 2). m m q  q t   q t    (3.167)

Амплитуду заряда qm и отставание по фазе  можно найти, не-

посредственно подставляя частное решение (3.167) в уравнение

(3.166), откуда:

0 0

2 22 2 2 2 2

0

/ ,

( ) 4 ( 1/( )) m

q U L U

R L C

 

          

(3.168)

2 2

0 tg 1/ ( ) .

2

L C

R

     

  

 

(3.169)

Общее решение уравнения (3.166), описывающее изменение

заряда конденсатора при вынужденных колебаниях,

t

0 з e cos( ) cos( /2). m q  q   t    q t   

Первое слагаемое в этом уравнении играет заметную роль

только в начальной стадии процесса, при так называемом установ-

лении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального

множителя et роль этого слагаемого уменьшается, и по прошест-

вии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь

второе слагаемое.

Таким образом, функция (3.167) описывает установившиеся

вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические

колебания с частотой, равной частоте подаваемого напряжения.

Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в

контуре меняется по следующему закону:

0

d cos( ),

d

I q I t

t

    (3.170)

200

где амплитуда тока

 

0

0 2 2

.

1/ ( )

m

I q U

R L C

 

   

(3.171)

Ток отстает от внешнего напряжения по фазе на угол , опре-

деляемый соотношением (3.169).

Установившиеся вынужденные электрические колебания мож-

но рассматривать как протекание переменного тока в полной цепи,

обладающей емкостью, индуктивностью и сопротивлением.

Полученное выражение для амплитуды силы тока (3.171) мож-

но формально толковать как закон Ома для амплитудных значений

тока и внешнего напряжения. Стоящую в знаменателе этого выра-

жения величину, имеющую размерность сопротивления, обознача-

ют буквой Z и называют полным сопротивлением цепи переменного

тока или импедансом:

0

0 I  U ,

Z

(3.172)

Z  R2  (L 1/ (C))2 . (3.173)

Величину, стоящую в круглых скобках этого выражения, обо-

значают X и называют реактивным сопротивлением:

X  L 1/ (C). (3.174)

При этом величину L называют индуктивным сопротивлени-

ем, а величину 1/(C) – емкостным сопротивлением. Их обознача-

ют соответственно XL и XC. Сопротивление R в этом случае назы-

вают активным сопротивлением цепи. Термин «активное сопро-

тивление» используется в том смысле, что именно на этом

сопротивлении рассеивается энергия в виде тепла.

Итак,

XL = L, XC = 1/(C), X = XL – XC, Z  R2  X 2 . (3.175)

Найдем напряжения на отдельных элементах контура:

cos cos ,

2 2

m

C Cm

U q q t U t

C C

                

   

(3.176)

0 cos( ) cos( ), R Rm U  IR  I R t   U t   (3.177)

201

0

d sin( ) cos .

L d Lm 2

U L I LI t U t

t

             

 

(3.178)

Из формул (3.176)–(3.178) видно, что UR

находится в фазе с током I (3.170), UC отстает

по фазе от I на /2, а UL опережает I на /2. Все

это можно наглядно представить с помощью

векторной диаграммы (см. подразд. 1.3), изо-

бразив амплитуды напряжений и их вектор-

ную сумму, равную согласно (3.165) вектору

внешнего напряжения (рис. 3.42).

Резонансную частоту для заряда q и на-

пряжения UC на конденсаторе можно найти

аналогично резонансной частоте (1.142) для смещения при механи-

ческих колебаниях, исследовав функцию (3.168) на максимум:

2

2 2

рез рез 0 2 0

2 1 .

2

          

q UC

R

LC L

(3.179)

Резонансные кривые для UC изображены на рис. 3.43, а (резо-

нансные кривые для q имеют точно такой же вид). Резонансные кри-

вые для силы тока изображены на рис. 3.43, б. Амплитуда силы тока

(3.171) имеет максимальное значение при X  L1 (C)  0, откуда

рез 0  1   . I LC (3.180)

0

1< < 2 3

рез

UCm I0

R1<R2<R3

U 0

a) б) 0

а б

Рис. 3.43

Разности потенциалов на индуктивности и емкости имеют при

резонансе тока одинаковые амплитуды и противоположные фазы,

так что их сумма обращается в нуль, а напряжение на активном со-

противлении оказывается равным ЭДС источника энергии.

UU Rm Cm

ULm

U0

Рис. 3.42

U Ст

0

I 0

202

На описанном явлении основаны все радиоприемные устройст-

ва, неотъемлемой частью которых является колебательный контур с

изменяемой резонансной частотой.

3.4.4. Мощность в цепи переменного тока

Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно

произведению мгновенных значений напряжения (3.163) и силы то-

ка (3.170):

P(t) U(t)I (t) U0 cos t I0 cos(t ),

где  определяется соотношением (3.169):

tg L 1/ ( C) X ,

R R

  

  

откуда можно получить

cos R .

Z

  (3.181)

Воспользовавшись формулой

cos cos 1 cos( ) 1 cos( ),

2 2

         

выражению для мгновенной мощности можно придать вид:

0 0 0 0

( ) 1 cos 1 cos(2 ).

2 2

P t  U I  U I t  

Практический интерес представляет среднее по времени значе-

ние P(t), которое мы просто обозначим P. Поскольку среднее зна-

чение cos(2t – ) равно нулю, то

0 0

1 cos .

2

P  U I  (3.182)

Если ток в цепи не совершает механической работы, средняя

мощность выделяется в активном сопротивлении в виде тепла.

Подставив значение cos  из (3.181) в (3.182) с учетом (3.172),

получим:

2

0 .

2

P  RI (3.183)

203

Такую же мощность развивает постоянный ток, сила которого

0

эф .

2

I  I (3.184)

Величина Iэф называется действующим (эффективным) значе-

нием силы тока. Аналогично величина

0

эф 2

U  U (3.185)

называется действующим (эффективным) значением напряжения.

Действующим (эффективным) значением переменного тока

называется такое значение постоянного тока, при котором на ак-

тивном сопротивлении выделяется за период такое же количество

теплоты, как и при переменном токе. Аналогично определяется

и действующее (эффективное) значение напряжения.

Например, стандартное напряжение в сети 220 В – это эффек-

тивное напряжение. По формуле (3.185) легко рассчитать, что ам-

плитудное значение напряжения в этом случае будет равно 311 В.

С использованием действующих значений формуле (3.182) для

средней мощности можно придать вид

эф эф P U I cos. (3.186)

В выражение для мощности входит множитель cos , опреде-

ляемый по формуле (3.181), который называют коэффициентом

мощности. В технике стремятся сделать cos  как можно больше.

При малом cos  для выделения в цепи необходимой мощности

нужно пропускать ток большей силы. При этом возрастают потери

в подводящих проводах, и приходится увеличивать их сечение.

На практике устанавливается предельно допустимое значение

cos для предприятия, при достижении которого возможно отклю-

чение его от внешней сети (например, при cos ~ 0,85). Для повы-

шения cos необходимо, как видно из векторной диаграммы (см.

рис. 3.42), уравнять амплитудные значения напряжения на емкости

и индуктивности электрической цепи. Это может потребовать зна-

чительных капитальных вложений на переоборудование станочного

парка на предприятии, изменение технологии. Быстро повысить

cos  можно, увеличивая (см. (3.181)) активное сопротивление,

подключая нагревательные элементы и осветительное оборудова-

204

ние. Вот почему иногда можно наблюдать картину включения ос-

вещения на территории предприятий в дневное время в условиях

достаточной видимости.

3.4.5. Электромагнитные волны

Мы знаем, что переменные электрическое и магнитное поля

взаимно порождают друг друга: переменное магнитное поле поро-

ждает электрическое (см. уравнение (3.142)), переменное электри-

ческое поле порождает магнитное (см. уравнение (3.143)). Таким

образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов пере-

менное электромагнитное поле, то в окружающем заряды простран-

стве возникает последовательность взаимных превращений элек-

трического и магнитного полей, распространяющихся от точки

к точке. Этот процесс периодический во времени и в пространстве

и, следовательно, представляет собой волну.

Из уравнений Максвелла можно получить для векторов напря-

женностей электрического E

и магнитного H

полей так называе-

мые волновые уравнения (связанные друг с другом), которые в од-

номерном случае имеют вид:

2 2

2 0 0 2

2 2

2 0 0 2

,

.

 

      

  

      

 

 

E E

x t

H H

x t

(3.187)

Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению,

представляет собой волну, причем корень квадратный из величины,

обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазо-

вую скорость этой волны:

0 0

 1  c ,

  

v (3.188)

где 8

0 0 c 1    310 м/с – скорость электромагнитных волн в ва-

кууме.

Поэтому Максвелл еще задолго до экспериментального под-

тверждения существования электромагнитных волн высказал гипо-

тезу, что свет – это электромагнитные волны. Впервые эксперимен-

тально доказал существование электромагнитных волн Г. Герц

в 1888 г., спустя 9 лет после смерти Максвелла.

205

Простейшими решениями уравнений (3.187) являются функции

(уравнения плоской волны):

cos( ),

cos( ),

     

     

 

 m

m

E E t kx

H H t kx

(3.189)

где циклическая частота волны  = 2, волновое число

k   / v  2 /  ,  – длина волны. Шкала электромагнитных волн,

где представлено (в упрощенном виде) условное разбиение по дли-

нам волн на диапазоны радиоволн, световых волн, рентгеновского

и гамма-излучения, имеет следующий вид:

Радиоволны Световые волны R-излучение -излучение

103–10–4 м 10–4–10–9 м 10–9–610–12 м < 610–12 м

Колебания векторов E

и H

происходят с одинаковой фазой,

а амплитуды этих векторов связаны соотношением:

0 0   , m m E H (3.190)

т.е. по одному вектору однозначно определяется другой.

На рис. 3.44 представлено

графическое изображение элек-

тромагнитной волны, описы-

ваемой уравнениями (3.189).

Электромагнитные волны – по-

перечные волны: векторы

E

и

H

поля волны лежат в плоско-

сти, перпендикулярной направлению распространения волны. Кро-

ме того, векторы

E

и

H

поля волны взаимно перпендикулярны,

так что вектор скорости волны v и векторы

E

и

H

образуют пра-

вую тройку. В фиксированной точке пространства векторы

E

и

H

изменяются со временем по гармоническому закону. Они одновре-

менно увеличиваются от нуля, затем через 1/4 периода достигают

наибольшего значения, причем если

E

направлен вверх, то

H

на-

правлен вправо (смотрим вдоль направления распространения вол-

ны). Еще через 1/4 периода оба вектора одновременно обращаются

в нуль. Затем опять достигают наибольшего значения, но на этот

раз вектор

E

направлен вниз, а

H

– влево. И, наконец, по заверше-

нии периода колебания векторы снова обращаются в нуль. Такие

x

E

H

y

z

v

Рис. 3.44

206

изменения векторов

E

и

H

происходят во всех точках пространст-

ва, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точ-

ками, отсчитанными вдоль оси x.

Распространение всякой волны связано с переносом энергии.

Электромагнитные волны также переносят энергию. Плотность по-

тока энергии можно получить, умножив плотность энергии w на

скорость v (см. формулу (1.164)). В случае электромагнитных волн

вектор плотности потока энергии принято обозначать буквой

S .

Следовательно, модуль вектора

S

S = w v. (3.191)

Плотность энергии электромагнитного поля слагается из плот-

ностей энергии электрического (3.58) и магнитного (3.136) полей:

2 2

0 0 .

2 2

   

     

E H

E H w w w (3.192)

В вакууме и в непроводящей среде векторы

E

и

H

изменяются

в каждой точке пространства в одинаковой фазе. Поэтому соотноше-

ние (3.190) между амплитудами напряженностей электрического

и магнитного полей справедливо и для их мгновенных значений.

Отсюда следует, что плотность энергии электрического и маг-

нитного полей в каждый момент времени одинакова:   

E H w w . По-

этому можно написать, что 2

0 2 . E     

E w w Воспользовавшись

тем, что 0 0 E   H  , выражению для плотности энергии элек-

тромагнитной волны можно придать следующий вид:

0 0 w     EH  EH ,

v

а выражению для плотности потока энергии – такой вид:

S  wv  EH.

Векторы

E

и

H

взаимно перпендику-

лярны и образуют с направлением распро-

странения волны правовинтовую систему

(рис. 3.45). Поэтому направление вектора

 

E H совпадает с направлением переноса

энергии, а модуль этого вектора равен ЕН.

H

E

v

Рис. 3.45

207

Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии

можно представить как векторное произведение

E

и

H

:

   .

    S wv E H (3.193)

Вектор

S называется вектором Пойнтинга. Поскольку векто-

ры

E

и

H

изменяются со временем по закону косинуса, модуль

вектора Пойнтинга в каждой точке изменяется по закону квадрата

косинуса. Среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2.

Поэтому среднее значение плотности потока энергии – интенсив-

ности волны

.

2

 m m J E H (3.194)

Поглощаясь в каком-либо теле, электромагнитная волна сооб-

щает этому телу некоторый импульс, т. е. оказывает на него давле-

ние. Соответствующий расчет показывает, что в случае идеально

поглощающей поверхности давление электромагнитной волны рав-

но ее объемной плотности энергии: p = w. Эта величина пульсирует

с очень большой частотой. Поэтому практически может быть изме-

рено ее среднее по времени значение. Таким образом,

p  w  . (3.195)

Для идеально отражающей поверхности давление будет в два

раза больше.

Световое давление было измерено П.Н. Лебедевым. Результаты

измерений оказались в полном согласии с теорией Максвелла.

Примеры решения задач

№ 1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и

двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Период

собственных колебаний контура Т1 = 20 мкс. Чему будет равен период

колебаний Т2, если конденсаторы включить последовательно?

Р е ш е н и е. Период колебаний в колеба-

тельном контуре T  2π LC , где С – общая ем-

кость батареи конденсаторов.

В первом случае:

С = С1 + С2 = 2С1 

1 1 1 T  2π L2C  2 2π LC .

208

Во втором случае:

1 2

1 2 1 2

1 1 1 

   С С

С С С СС

2

1 2 1 1

1 2 1

.

2 2

  

С С С С С

С С С

Тогда

1

2 1 2 π 2 π

2

T   LС   LС  2 1

1 1

2 π 1

2 2π 2

 

Т LC

Т LC

 2 1

1 10 мкс.

2

Т  Т 

№ 2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивно-

стью 0,1 Гн и конденсатора емкостью 40 мкФ. Максимальный заряд

конденсатора 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, запи-

шите закон изменения силы тока в зависимости от времени.

Д а н о: L = 0,1 Гн, С = 40 мкФ, qm = 3 мкКл.

Р е ш е н и е. Предположим, что конденсатор имеет макси-

мальный заряд в начальный момент времени. В этом случае закон

изменения заряда удобно записать в виде

q = qm cosωt,

где 6 3

ω 1 1 1 500 рад .

0,1 40 10 2 10 с  

   

LC   

Закон изменения тока:

d ωsin ω

d m

I q q t.

t

 

Найдем амплитуду тока:

Im = qmω = 3·10‒6·500 = 1,5·10‒3 А.

Подставим ее в закон изменения тока и в результате получим

(мА): I = ‒1,5·sin500t.

№ 3. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в коле-

бательном контуре изменяется по закону U = 50·cos(104π·t). Емкость

конденсатора С = 0,9 мкФ. Найдите индуктивность контура, а так-

же длину волны, соответствующую этому контуру.

Р е ш е н и е. Из закона изменения разности потенциалов

ω = 104π. По определению ω  1

LC

. Отсюда

2

1

ω

L

C

 3

8 2 6

1 1,13 10 Гн.

10 π 10

   

 

209

Длина волны, излучаемой контуром, λ 2π

ν ω

 с  с , где с – ско-

рость электромагнитной волны (скорость света) в вакууме, с =

= 3·108 м/с. Тогда

8

4

4

λ 2π 3 10 6 10 м 60км.

10 π

 

   

№ 4. Электромагнитная волна частотой  = 3 МГц переходит из

вакуума в диэлектрик с проницаемостью  = 4. Насколько изменит-

ся длина волны?

Р е ш е н и е. При переходе из вакуума в диэлектрик меняется

скорость электромагнитной волны:

,

ε

v  c

где v – скорость волны в диэлектрике; с – скорость волны в вакуу-

ме, с = 3·108 м/с.

Длина волны в вакууме 0 λ ,

ν

 c длина волны в диэлектрике

λ .

ν ν ε

 v  c Отсюда изменение длины волны

8

0 6

Δλ λ λ 1 1 3 10 1 1 50 м.

ν ε 3 10 2

   c                  

№ 5. В вакууме распространяется плоская электромагнитная

волна. Поверхность площадью 50 см2 перпендикулярна скорости

волны. За 2 с через поверхность переносится энергия 10 мкДж.

Найдите интенсивность волны.

Д а н о: S = 5·10‒3; t = 2 с; W = 10‒5 Дж.

Р е ш е н и е. Интенсивностью волны называется среднее зна-

чение энергии, переносимой волной за единицу времени через еди-

ницу поверхности (см. подразд. 1.3.6). Поэтому интенсивность

электромагнитной волны

5

3

4 2

10 10 Дж .