3.4. Электромагнитные колебания и волны
3.4.1. Колебательный контур
Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей
индуктивность и емкость. Такая цепь называется колебательным
контуром. На рис. 3.37, а изображены последовательные стадии ко-
лебательного процесса в идеализированном контуре с электриче-
ским сопротивлением, равным нулю.
194
1 2 3 4 5
a)
б)
I I
+q
- q
+q
+q - q
- q
C
W q
2
2
2
L I 2
C
q
2
2
C
q
2
2
2
LI 2
2
kx2 W
2
kx 2
2
kx 2
2
mv2
2
mv2
Рис. 3.37
Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить от-
ключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока,
вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды ве-
личиной qm (позиция 1 на рис. 3.37, а). Между обкладками возник-
нет электрическое поле, энергия которого равна q2 / (2C) (см.
(3.57)). Если затем отключить источник тока и замкнуть конденса-
тор на индуктивность, емкость начнет разряжаться и в контуре по-
течет ток. В результате энергия электрического поля будет умень-
шаться, но возникнет все возрастающая энергия магнитного поля,
обусловленного током, текущим через индуктивность. Эта энергия
равна LI 2 2 (см. (3.134)).
Поскольку сопротивление цепи равно нулю, полная энергия,
складывающаяся из энергии электрического поля и энергии магнитно-
го поля, не расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной.
Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следователь-
но, и энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия маг-
нитного поля, а значит, и ток достигают наибольшего значения (пози-
ция 2; начиная с этого момента ток течет за счет ЭДС самоиндукции).
В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках достиг-
нут первоначальной величины qm, сила тока становится равной нулю
(позиция 3). Затем те же процессы протекают в обратном порядке (по-
зиции 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состоя-
ние (позиция 5) и весь цикл повторяется снова и снова. В ходе опи-
б)
а)
195
санного процесса периодически изменяются (т.е. колеблются) заряд q
на обкладках, напряжение U на конденсаторе и сила тока I, текущего
через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными пре-
вращениями энергий электрического и магнитного полей.
На рис. 3.37, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания
пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсато-
ра соответствует выведение маятника внешней силой из положения
равновесия и сообщение ему первоначального отклонения xm. При
этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пру-
жины, равная 2 / 2 m kx (см. (1.94)). Позиция 2 соответствует прохож-
дению маятника через положение равновесия. В этот момент квази-
упругая сила равна нулю и маятник продолжает двигаться по инер-
ции. К этому времени энергия маятника полностью переходит
в кинетическую mv2 / 2 .
Из сопоставления электрических и механических колебаний сле-
дует, что энергия электрического поля аналогична потенциальной
энергии упругой деформации, а энергия магнитного поля аналогична
кинетической энергии. Индуктивность L играет роль массы, а величи-
на, обратная емкости (1/С) – роль коэффициента жесткости k. Нако-
нец, заряду q соответствует смещение маятника из положения равно-
весия х, а силе тока I – скорость v. Как мы увидим ниже, аналогия
между электрическими и механическими колебаниями распространя-
ется и на описывающие их математические уравнения.
Найдем уравнение колебаний в контуре без сопротивления.
Условимся считать положительным ток, заряжающий конденсатор
(рис. 3.38).
Тогда
d .
d
I q
t
(3.147)
Поскольку сопротивление R конту-
ра равно нулю, падения напряжения на
соединительных проводах нет, и напря-
жение на конденсаторе 1 – 2 = q/С в
каждый момент времени равно ЭДС самоиндукции õs = –L dI/dt. Сле-
довательно,
d .
d
q L I
C t
(3.148)
Рис. 3.38
196
Для изображенной на рис. 3.38 стадии процесса зарядки кон-
денсатора напряжение 1 – 2 положительно, а dI/dt отрицательно
(ток уменьшается). Поэтому справа в уравнении (3.148) стоит знак
«минус».
Сделав замену
2
2
d d
d d
I q
t t
в уравнении (3.148) и произведя про-
стые преобразования, придем к дифференциальному уравнению
2
2
d 1 0.
d
q q
t LC
(3.149)
Получилось уравнение вида (1.92) относительно заряда кон-
денсатора q. Следовательно, заряд на обкладках конденсатора из-
меняется (колеблется) по гармоническому закону:
q qm cos(0t ), (3.150)
с амплитудой m q и циклической частотой
0
1 .
LC
(3.151)
Эта частота называется собственной частотой контура. Для
периода колебаний получается формула Томсона:
T 2 LC. (3.152)
Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем 1/С:
0 0 m cos( ) cos( ).
m
U q t U t
C
(3.153)
Продифференцировав функцию (3.150) по времени, получим
выражение для силы тока:
0 0 0 sin( ) cos( / 2). m m I q t I t (3.154)
Таким образом, сила тока опережает по фазе напряжение на
конденсаторе на /2.
Из формул (3.153) и (3.154) следуют выражения для амплитуд
колебаний напряжения на конденсаторе и силы тока:
m
m
U q
C
, 0 m m I q .
197
Взяв отношение этих амплитуд и заменив 0 по формуле
(3.151), получим соотношение
m .
m
U L
I C
(3.155)
К этой формуле можно прийти также исходя из того, что наи-
большее значение энергии электрического поля 2 / 2 m CU равно наи-
большему значению энергий магнитного поля 2 / 2 m LI .
3.4.2. Свободные затухающие колебания
Всякий реальный контур обладает сопротивлением (рис. 3.39).
Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом со-
противлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания
затухают. В этом случае ЭДС самоиндукции в каждый момент вре-
мени равна сумме напряжения на конденсаторе и напряжения на
сопротивлении, равного IR:
d .
d
q IR L I
C t
(3.156)
Введя обозначение
2 R ,
L
(3.157)
с учетом (3.151) уравнение (3.156) запи-
шем в виде
2
2
2 0
d 2 d 0.
d d
q q q
t t
(3.158)
С математической точки зрения уравнение (3.158) тождест-
венно с уравнением (1.126). Из сопоставления формул (3.157)
и (1.125) следует, что электрическое сопротивление R играет роль
коэффициента сопротивления среды r.
В случае, когда < 0, решение уравнения (3.158) имеет вид
0 з q q et cos( t ). (3.159)
Здесь начальные амплитуда q0 и фаза определяются из на-
чальных условий, а циклическая частота затухающих колебаний
2
2 2
з 0 2
1 .
4
R
LC L
(3.160)
+q
R
I 1
-q
2
L
Рис. 3.39
198
График функции (3.159) изо-
бражен на рис. 3.40.
Логарифмический декремент за-
тухания (см. (1.134))
з з
2 .
2
T R R
L L
(3.161)
Добротность контура (см. (1.136))
Q L з .
R
(3.162)
3.4.3. Вынужденные электромагнитные колебания.
Полная цепь переменного тока
Чтобы вызвать вынужденные электромагнитные колебания,
нужно, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты пере-
менное напряжение (рис. 3.41):
0 U U cost. (3.163)
Рис. 3.41
Это напряжение нужно добавить к ЭДС самоиндукции.
В результате соотношение (3.156) примет вид:
0
d cos ,
d
q IR L I U t
C t
или 0
d cos .
d
q IR L I U t
C t
(3.164)
Отношение q / C есть напряжение UC на конденсаторе, произ-
ведение IR равно напряжению UR на сопротивлении, выражение
LdI / dt определяет напряжение UL на индуктивности. Поэтому
можно написать:
0 cos . C R L U U U U t (3.165)
Таким образом, сумма напряжений на отдельных элементах
контура равна в каждый момент времени напряжению, приложен-
ному извне (см. рис. 3.41).
t
q
0
q0 q0exp(-t)
Рис. 3.40
199
С учетом введенных ранее обозначений (3.151) и (3.157) урав-
нение (3.164) перепишем в виде:
2
2 0
2 0
d 2 d cos .
d d
q q q U t
t t L
(3.166)
Это неоднородное (правая часть отлична от нуля) дифференци-
альное уравнение второго порядка с постоянными коэффициента-
ми. Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее
решение неоднородного уравнения (3.166) равно сумме общего ре-
шения (3.159) однородного уравнения (3.158), соответствующего
данному неоднородному, и частного решения данного неоднород-
ного уравнения (которое можно найти по виду правой части):
sin( ) cos( / 2). m m q q t q t (3.167)
Амплитуду заряда qm и отставание по фазе можно найти, не-
посредственно подставляя частное решение (3.167) в уравнение
(3.166), откуда:
0 0
2 22 2 2 2 2
0
/ ,
( ) 4 ( 1/( )) m
q U L U
R L C
(3.168)
2 2
0 tg 1/ ( ) .
2
L C
R
(3.169)
Общее решение уравнения (3.166), описывающее изменение
заряда конденсатора при вынужденных колебаниях,
t
0 з e cos( ) cos( /2). m q q t q t
Первое слагаемое в этом уравнении играет заметную роль
только в начальной стадии процесса, при так называемом установ-
лении колебаний. С течением времени из-за экспоненциального
множителя et роль этого слагаемого уменьшается, и по прошест-
вии достаточного времени им можно пренебречь, сохраняя лишь
второе слагаемое.
Таким образом, функция (3.167) описывает установившиеся
вынужденные колебания. Они представляют собой гармонические
колебания с частотой, равной частоте подаваемого напряжения.
Сила тока при установившихся вынужденных колебаниях в
контуре меняется по следующему закону:
0
d cos( ),
d
I q I t
t
(3.170)
200
где амплитуда тока
0
0 2 2
.
1/ ( )
m
I q U
R L C
(3.171)
Ток отстает от внешнего напряжения по фазе на угол , опре-
деляемый соотношением (3.169).
Установившиеся вынужденные электрические колебания мож-
но рассматривать как протекание переменного тока в полной цепи,
обладающей емкостью, индуктивностью и сопротивлением.
Полученное выражение для амплитуды силы тока (3.171) мож-
но формально толковать как закон Ома для амплитудных значений
тока и внешнего напряжения. Стоящую в знаменателе этого выра-
жения величину, имеющую размерность сопротивления, обознача-
ют буквой Z и называют полным сопротивлением цепи переменного
тока или импедансом:
0
0 I U ,
Z
(3.172)
Z R2 (L 1/ (C))2 . (3.173)
Величину, стоящую в круглых скобках этого выражения, обо-
значают X и называют реактивным сопротивлением:
X L 1/ (C). (3.174)
При этом величину L называют индуктивным сопротивлени-
ем, а величину 1/(C) – емкостным сопротивлением. Их обознача-
ют соответственно XL и XC. Сопротивление R в этом случае назы-
вают активным сопротивлением цепи. Термин «активное сопро-
тивление» используется в том смысле, что именно на этом
сопротивлении рассеивается энергия в виде тепла.
Итак,
XL = L, XC = 1/(C), X = XL – XC, Z R2 X 2 . (3.175)
Найдем напряжения на отдельных элементах контура:
cos cos ,
2 2
m
C Cm
U q q t U t
C C
(3.176)
0 cos( ) cos( ), R Rm U IR I R t U t (3.177)
201
0
d sin( ) cos .
L d Lm 2
U L I LI t U t
t
(3.178)
Из формул (3.176)–(3.178) видно, что UR
находится в фазе с током I (3.170), UC отстает
по фазе от I на /2, а UL опережает I на /2. Все
это можно наглядно представить с помощью
векторной диаграммы (см. подразд. 1.3), изо-
бразив амплитуды напряжений и их вектор-
ную сумму, равную согласно (3.165) вектору
внешнего напряжения (рис. 3.42).
Резонансную частоту для заряда q и на-
пряжения UC на конденсаторе можно найти
аналогично резонансной частоте (1.142) для смещения при механи-
ческих колебаниях, исследовав функцию (3.168) на максимум:
2
2 2
рез рез 0 2 0
2 1 .
2
q UC
R
LC L
(3.179)
Резонансные кривые для UC изображены на рис. 3.43, а (резо-
нансные кривые для q имеют точно такой же вид). Резонансные кри-
вые для силы тока изображены на рис. 3.43, б. Амплитуда силы тока
(3.171) имеет максимальное значение при X L1 (C) 0, откуда
рез 0 1 . I LC (3.180)
0
1< < 2 3
рез
UCm I0
R1<R2<R3
U 0
a) б) 0
а б
Рис. 3.43
Разности потенциалов на индуктивности и емкости имеют при
резонансе тока одинаковые амплитуды и противоположные фазы,
так что их сумма обращается в нуль, а напряжение на активном со-
противлении оказывается равным ЭДС источника энергии.
UU Rm Cm
ULm
U0
Рис. 3.42
U Ст
0
I 0
202
На описанном явлении основаны все радиоприемные устройст-
ва, неотъемлемой частью которых является колебательный контур с
изменяемой резонансной частотой.
3.4.4. Мощность в цепи переменного тока
Мгновенное значение мощности, выделяемой в цепи, равно
произведению мгновенных значений напряжения (3.163) и силы то-
ка (3.170):
P(t) U(t)I (t) U0 cos t I0 cos(t ),
где определяется соотношением (3.169):
tg L 1/ ( C) X ,
R R
откуда можно получить
cos R .
Z
(3.181)
Воспользовавшись формулой
cos cos 1 cos( ) 1 cos( ),
2 2
выражению для мгновенной мощности можно придать вид:
0 0 0 0
( ) 1 cos 1 cos(2 ).
2 2
P t U I U I t
Практический интерес представляет среднее по времени значе-
ние P(t), которое мы просто обозначим P. Поскольку среднее зна-
чение cos(2t – ) равно нулю, то
0 0
1 cos .
2
P U I (3.182)
Если ток в цепи не совершает механической работы, средняя
мощность выделяется в активном сопротивлении в виде тепла.
Подставив значение cos из (3.181) в (3.182) с учетом (3.172),
получим:
2
0 .
2
P RI (3.183)
203
Такую же мощность развивает постоянный ток, сила которого
0
эф .
2
I I (3.184)
Величина Iэф называется действующим (эффективным) значе-
нием силы тока. Аналогично величина
0
эф 2
U U (3.185)
называется действующим (эффективным) значением напряжения.
Действующим (эффективным) значением переменного тока
называется такое значение постоянного тока, при котором на ак-
тивном сопротивлении выделяется за период такое же количество
теплоты, как и при переменном токе. Аналогично определяется
и действующее (эффективное) значение напряжения.
Например, стандартное напряжение в сети 220 В – это эффек-
тивное напряжение. По формуле (3.185) легко рассчитать, что ам-
плитудное значение напряжения в этом случае будет равно 311 В.
С использованием действующих значений формуле (3.182) для
средней мощности можно придать вид
эф эф P U I cos. (3.186)
В выражение для мощности входит множитель cos , опреде-
ляемый по формуле (3.181), который называют коэффициентом
мощности. В технике стремятся сделать cos как можно больше.
При малом cos для выделения в цепи необходимой мощности
нужно пропускать ток большей силы. При этом возрастают потери
в подводящих проводах, и приходится увеличивать их сечение.
На практике устанавливается предельно допустимое значение
cos для предприятия, при достижении которого возможно отклю-
чение его от внешней сети (например, при cos ~ 0,85). Для повы-
шения cos необходимо, как видно из векторной диаграммы (см.
рис. 3.42), уравнять амплитудные значения напряжения на емкости
и индуктивности электрической цепи. Это может потребовать зна-
чительных капитальных вложений на переоборудование станочного
парка на предприятии, изменение технологии. Быстро повысить
cos можно, увеличивая (см. (3.181)) активное сопротивление,
подключая нагревательные элементы и осветительное оборудова-
204
ние. Вот почему иногда можно наблюдать картину включения ос-
вещения на территории предприятий в дневное время в условиях
достаточной видимости.
3.4.5. Электромагнитные волны
Мы знаем, что переменные электрическое и магнитное поля
взаимно порождают друг друга: переменное магнитное поле поро-
ждает электрическое (см. уравнение (3.142)), переменное электри-
ческое поле порождает магнитное (см. уравнение (3.143)). Таким
образом, если возбудить с помощью колеблющихся зарядов пере-
менное электромагнитное поле, то в окружающем заряды простран-
стве возникает последовательность взаимных превращений элек-
трического и магнитного полей, распространяющихся от точки
к точке. Этот процесс периодический во времени и в пространстве
и, следовательно, представляет собой волну.
Из уравнений Максвелла можно получить для векторов напря-
женностей электрического E
и магнитного H
полей так называе-
мые волновые уравнения (связанные друг с другом), которые в од-
номерном случае имеют вид:
2 2
2 0 0 2
2 2
2 0 0 2
,
.
E E
x t
H H
x t
(3.187)
Всякая функция, удовлетворяющая волновому уравнению,
представляет собой волну, причем корень квадратный из величины,
обратной коэффициенту при производной по времени, дает фазо-
вую скорость этой волны:
0 0
1 c ,
v (3.188)
где 8
0 0 c 1 310 м/с – скорость электромагнитных волн в ва-
кууме.
Поэтому Максвелл еще задолго до экспериментального под-
тверждения существования электромагнитных волн высказал гипо-
тезу, что свет – это электромагнитные волны. Впервые эксперимен-
тально доказал существование электромагнитных волн Г. Герц
в 1888 г., спустя 9 лет после смерти Максвелла.
205
Простейшими решениями уравнений (3.187) являются функции
(уравнения плоской волны):
cos( ),
cos( ),
m
m
E E t kx
H H t kx
(3.189)
где циклическая частота волны = 2, волновое число
k / v 2 / , – длина волны. Шкала электромагнитных волн,
где представлено (в упрощенном виде) условное разбиение по дли-
нам волн на диапазоны радиоволн, световых волн, рентгеновского
и гамма-излучения, имеет следующий вид:
Радиоволны Световые волны R-излучение -излучение
103–10–4 м 10–4–10–9 м 10–9–610–12 м < 610–12 м
Колебания векторов E
и H
происходят с одинаковой фазой,
а амплитуды этих векторов связаны соотношением:
0 0 , m m E H (3.190)
т.е. по одному вектору однозначно определяется другой.
На рис. 3.44 представлено
графическое изображение элек-
тромагнитной волны, описы-
ваемой уравнениями (3.189).
Электромагнитные волны – по-
перечные волны: векторы
E
и
H
поля волны лежат в плоско-
сти, перпендикулярной направлению распространения волны. Кро-
ме того, векторы
E
и
H
поля волны взаимно перпендикулярны,
так что вектор скорости волны v и векторы
E
и
H
образуют пра-
вую тройку. В фиксированной точке пространства векторы
E
и
H
изменяются со временем по гармоническому закону. Они одновре-
менно увеличиваются от нуля, затем через 1/4 периода достигают
наибольшего значения, причем если
E
направлен вверх, то
H
на-
правлен вправо (смотрим вдоль направления распространения вол-
ны). Еще через 1/4 периода оба вектора одновременно обращаются
в нуль. Затем опять достигают наибольшего значения, но на этот
раз вектор
E
направлен вниз, а
H
– влево. И, наконец, по заверше-
нии периода колебания векторы снова обращаются в нуль. Такие
x
E
H
y
z
v
Рис. 3.44
206
изменения векторов
E
и
H
происходят во всех точках пространст-
ва, но со сдвигом по фазе, определяемым расстоянием между точ-
ками, отсчитанными вдоль оси x.
Распространение всякой волны связано с переносом энергии.
Электромагнитные волны также переносят энергию. Плотность по-
тока энергии можно получить, умножив плотность энергии w на
скорость v (см. формулу (1.164)). В случае электромагнитных волн
вектор плотности потока энергии принято обозначать буквой
S .
Следовательно, модуль вектора
S
S = w v. (3.191)
Плотность энергии электромагнитного поля слагается из плот-
ностей энергии электрического (3.58) и магнитного (3.136) полей:
2 2
0 0 .
2 2
E H
E H w w w (3.192)
В вакууме и в непроводящей среде векторы
E
и
H
изменяются
в каждой точке пространства в одинаковой фазе. Поэтому соотноше-
ние (3.190) между амплитудами напряженностей электрического
и магнитного полей справедливо и для их мгновенных значений.
Отсюда следует, что плотность энергии электрического и маг-
нитного полей в каждый момент времени одинакова:
E H w w . По-
этому можно написать, что 2
0 2 . E
E w w Воспользовавшись
тем, что 0 0 E H , выражению для плотности энергии элек-
тромагнитной волны можно придать следующий вид:
0 0 w EH EH ,
v
а выражению для плотности потока энергии – такой вид:
S wv EH.
Векторы
E
и
H
взаимно перпендику-
лярны и образуют с направлением распро-
странения волны правовинтовую систему
(рис. 3.45). Поэтому направление вектора
E H совпадает с направлением переноса
энергии, а модуль этого вектора равен ЕН.
H
E
v
Рис. 3.45
207
Следовательно, вектор плотности потока электромагнитной энергии
можно представить как векторное произведение
E
и
H
:
.
S wv E H (3.193)
Вектор
S называется вектором Пойнтинга. Поскольку векто-
ры
E
и
H
изменяются со временем по закону косинуса, модуль
вектора Пойнтинга в каждой точке изменяется по закону квадрата
косинуса. Среднее значение квадрата косинуса за период равно 1/2.
Поэтому среднее значение плотности потока энергии – интенсив-
ности волны
.
2
m m J E H (3.194)
Поглощаясь в каком-либо теле, электромагнитная волна сооб-
щает этому телу некоторый импульс, т. е. оказывает на него давле-
ние. Соответствующий расчет показывает, что в случае идеально
поглощающей поверхности давление электромагнитной волны рав-
но ее объемной плотности энергии: p = w. Эта величина пульсирует
с очень большой частотой. Поэтому практически может быть изме-
рено ее среднее по времени значение. Таким образом,
p w . (3.195)
Для идеально отражающей поверхности давление будет в два
раза больше.
Световое давление было измерено П.Н. Лебедевым. Результаты
измерений оказались в полном согласии с теорией Максвелла.
Примеры решения задач
№ 1. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности и
двух одинаковых конденсаторов, включенных параллельно. Период
собственных колебаний контура Т1 = 20 мкс. Чему будет равен период
колебаний Т2, если конденсаторы включить последовательно?
Р е ш е н и е. Период колебаний в колеба-
тельном контуре T 2π LC , где С – общая ем-
кость батареи конденсаторов.
В первом случае:
С = С1 + С2 = 2С1
1 1 1 T 2π L2C 2 2π LC .
208
Во втором случае:
1 2
1 2 1 2
1 1 1
С С
С С С СС
2
1 2 1 1
1 2 1
.
2 2
С С С С С
С С С
Тогда
1
2 1 2 π 2 π
2
T LС LС 2 1
1 1
2 π 1
2 2π 2
Т LC
Т LC
2 1
1 10 мкс.
2
Т Т
№ 2. Колебательный контур состоит из катушки индуктивно-
стью 0,1 Гн и конденсатора емкостью 40 мкФ. Максимальный заряд
конденсатора 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, запи-
шите закон изменения силы тока в зависимости от времени.
Д а н о: L = 0,1 Гн, С = 40 мкФ, qm = 3 мкКл.
Р е ш е н и е. Предположим, что конденсатор имеет макси-
мальный заряд в начальный момент времени. В этом случае закон
изменения заряда удобно записать в виде
q = qm cosωt,
где 6 3
ω 1 1 1 500 рад .
0,1 40 10 2 10 с
LC
Закон изменения тока:
d ωsin ω
d m
I q q t.
t
Найдем амплитуду тока:
Im = qmω = 3·10‒6·500 = 1,5·10‒3 А.
Подставим ее в закон изменения тока и в результате получим
(мА): I = ‒1,5·sin500t.
№ 3. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в коле-
бательном контуре изменяется по закону U = 50·cos(104π·t). Емкость
конденсатора С = 0,9 мкФ. Найдите индуктивность контура, а так-
же длину волны, соответствующую этому контуру.
Р е ш е н и е. Из закона изменения разности потенциалов
ω = 104π. По определению ω 1
LC
. Отсюда
2
1
ω
L
C
3
8 2 6
1 1,13 10 Гн.
10 π 10
209
Длина волны, излучаемой контуром, λ 2π
ν ω
с с , где с – ско-
рость электромагнитной волны (скорость света) в вакууме, с =
= 3·108 м/с. Тогда
8
4
4
λ 2π 3 10 6 10 м 60км.
10 π
№ 4. Электромагнитная волна частотой = 3 МГц переходит из
вакуума в диэлектрик с проницаемостью = 4. Насколько изменит-
ся длина волны?
Р е ш е н и е. При переходе из вакуума в диэлектрик меняется
скорость электромагнитной волны:
,
ε
v c
где v – скорость волны в диэлектрике; с – скорость волны в вакуу-
ме, с = 3·108 м/с.
Длина волны в вакууме 0 λ ,
ν
c длина волны в диэлектрике
λ .
ν ν ε
v c Отсюда изменение длины волны
8
0 6
Δλ λ λ 1 1 3 10 1 1 50 м.
ν ε 3 10 2
c
№ 5. В вакууме распространяется плоская электромагнитная
волна. Поверхность площадью 50 см2 перпендикулярна скорости
волны. За 2 с через поверхность переносится энергия 10 мкДж.
Найдите интенсивность волны.
Д а н о: S = 5·10‒3; t = 2 с; W = 10‒5 Дж.
Р е ш е н и е. Интенсивностью волны называется среднее зна-
чение энергии, переносимой волной за единицу времени через еди-
ницу поверхности (см. подразд. 1.3.6). Поэтому интенсивность
электромагнитной волны
5
3
4 2
10 10 Дж .